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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Welche der folgenden Räume sind kompakt?
(a) [a,b], a,b [mm] \in\IR [/mm] (mit der euklidischen Metrik)
(b) [a,b], a,b [mm] \in\IR [/mm] (mit der diskreten Metrik)
(c) [mm] \{x \in\IR | x^3 \le 2 \} [/mm] (mit der euklidischen Metrik)
(d) [mm] \{x \in\IR | x^2 \le 2 \} [/mm] (mit der euklidischen Metrik)
(e) Die Teilmenge [mm] \{sin(nx) | n=1,...,N\} [/mm] von [mm] C[0,2\pi] [/mm] mit der Supremumsnorm. |
Ich weiß hier einfach nicht wie ich die Kompaktheit zeigen soll.
Kompakt bedeuted, dass jede offene Überdeckung (also eine Überdeckung durch offene Teilmengen) eine endliche Teilüberdeckung hat (also, dass nur endlich viele Überdechungen "nötig" sind).
Aber wozu dann die Metrik? Und wie überhaupt zeigen?
In [mm] \IR [/mm] könnte ich auch die Folgenkompaktheit nehmen, also, dass jede Folge aus Elemente der Menge eine konvergente Teilfolge hat.
Aber wie zeige ich das?
Über einen Hinweis bzw. Anstoß wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Metriken sind deswegen angegeben, weil die Topologie der Räume wohl die sein soll, die von den Metriken induziert wird (hattet ihr das schon?).
a,c,d) Dürft ihr verwenden, dass hierbei "kompakt" äquivalent zu "beschränkt und abgeschlossen" ist (Vorrausgesetzt, dass mit "euklidischer Metrik" bei euch d(x,y) = |x-y| gemeint ist)? Wenn ja, dann wäre es damit wohl am einfachsten.
b) Was ist die diskrete Metrik? d(x,x)=0 und d(x,y)=1 für x [mm] \not= [/mm] y? Daraus würde folgen, dass jede ein-punktige Menge offen wäre (warum?) und damit hat man sofort eine offenen Überdeckung, die nicht mal eine Teilüberdeckung besitzt (und deswegen erst recht keine endliche Teilüberdeckung).
e) Hier hab ich so spontan auch keine Idee.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Stimmt das mit abgeschlossen und beschränkt habe ich vergessen gehabt.
(a)
Hier kann man ja dann eben genauso argumentieren:
[a,b] ist abgeschlossen und beschränkt und damit kompakt
(c)
$ [mm] \{x \in\IR | x^3 \le 2 \} [/mm] $ kann man ja auch schreiben als [mm] (-\infty [/mm] , [mm] \wurzel[3]{2}] [/mm] und damit hätte man ein zwar abgeschlossenes aber nicht beschränktes Intervall und damit auch keine Kompaktheit
(d)
hier gleiches Spiel wie bei Teil (c) [mm] \{x \in\IR | x^2 \le 2 \} [/mm] lässt sich darstellen als [mm] [-\wurzel{2},\wurzel{2}] [/mm] ist damit abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
(b)
Die disktete Metrik ist wie von dir angenommen d(x,x)=0 und d(x,y)=1 für x $ [mm] \not= [/mm] $ y
die begründung verstehe ich jedoch nicht ... warum ist jede einpunktige menge offen?
Und die offene Überdeckung wären dann alle einzelnen Punkte? ... wieso besitzt diese jedoch keine teilüberdeckung? könnte man nicht immer einen Teil des Intervalls zsm fassen?
(e)
Hier habe ich auch absolut keine Idee. Ich habe schon Probleme mir zu überlegen was ich überhaupt machen soll :-[
Gruß Zerwas
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Zunächst ist zu überlegen, welche Mengen offen bezüglich der diskreten Metrik sind.
Die durch die Metrik definierten Umgebungen eines Punktes x sind hier die Mengen [mm] (\varepsilon [/mm] - Kugeln) U, mit U = {y [mm] \in \IR [/mm] | d(x,y) < [mm] \varepsilon [/mm] } für ein [mm] \varepsilon \in \IR
[/mm]
Und offen ist eine Menge genau dann, wenn sie eine Umgebung für jeden Punkt, den sie enthält, ist.
Betrachtet man nun {x}, so gilt natürlich, dass
{x} = {y [mm] \in \IR [/mm] | d(x,y) < 1}
Also ist {x} Umgebung von x, und somit ist jede einelementige Menge bezüglich der durch die diskrete Metrik induzierte Topologie offen.
ad e)
(e) Die Teilmenge $ [mm] \{sin(nx) | n=1,...,N\} [/mm] $ von $ [mm] C[0,2\pi] [/mm] $ mit der Supremumsnorm.
Tipp: Es handelt sich ja hier um eine endliche Menge von Funktionen.
lg,
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