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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Di 03.06.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei X ein metrischer Raum und [mm](A_k)_{k\in \IN_0}[/mm] eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen von X mit [mm]A_0\supset A_1 \supset A_2 \supset ...[/mm]
Zeigen Sie, dass auch [mm]A:= \bigcap_{k=0}^{\infty} A_k[/mm] nichtleer und kompakt ist. |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich denke das sie nicht leer ist hab ich:
Und zwar hab ich mir eine beschränkte Folge [mm](a_k)[/mm] genommen und mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß argumentiert. Und dann den limes der konvergenten Teilfolgen gebildet.
zur Kompaktheit:
-Ist das Ding Kompakt wenn jede Teilmenge abgeschlossen ist?
Dann könnte ich ja zeigen das eine der Teilmengen (genauer [mm] A_0) [/mm] abgeschlossen ist und eine Induktion machen.
-Oder kann mit der Überdeckung argumentieren.
Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] von A endlich viele Indizies [mm]i_l,...,i_k\in I[/mm] gibt, so dass [mm]A \subset U_i_1 \cup U_i_2 \cup ... \cup U_i_k[/mm]
Aber ich hab doch hier unendlich viele Teilmengen.
Gruße,
Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 03.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei X ein metrischer Raum und [mm](A_k)_{k\in \IN_0}[/mm] eine Folge
> nichtleerer kompakter Teilmengen von X mit [mm]A_0\supset A_1 \supset A_2 \supset ...[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]A:= \bigcap_{k=0}^{\infty} A_k[/mm]
> nichtleer und kompakt ist.
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> ich denke das sie nicht leer ist hab ich:
> Und zwar hab ich mir eine beschränkte Folge [mm](a_k)[/mm] genommen
> und mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß argumentiert. Und
> dann den limes der konvergenten Teilfolgen gebildet.
>
Wie hast du diese Folge genau gewählt? Und wie hast du weiter argumentiert (nur ganz kurz - sollst nicht den Beweis hinschreiben)?
> zur Kompaktheit:
> -Ist das Ding Kompakt wenn jede Teilmenge abgeschlossen
> ist?
> Dann könnte ich ja zeigen das eine der Teilmengen (genauer
> [mm]A_0)[/mm] abgeschlossen ist und eine Induktion machen.
Hä? Haben kompakte Mengen keine offenen Teilmengen bei dir?
> -Oder kann mit der Überdeckung argumentieren.
> Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt kompakt,
> wenn es zu jeder offenen Überdeckung [mm](U_i)_{i\in I}[/mm] von A
> endlich viele Indizies [mm]i_l,...,i_k\in I[/mm] gibt, so dass [mm]A \subset U_i_1 \cup U_i_2 \cup ... \cup U_i_k[/mm]
>
> Aber ich hab doch hier unendlich viele Teilmengen.
Ich würd es mit der Folgenkompaktheit versuchen, denn du hast ja einen metrischen Raum (also sind Folgenkompaktheit und Überdeckungskompaktheit äquivalent).
> Gruße,
> Marie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 04.06.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
erstemal danke, das mit der Folge ist eine gute Frage, weil eigentlich ist die Aufgabe doch zu allgemein um eine expliziete Folge angeben zu können, allerdings kann ich ohne Folge keinen Grenzwert berechnen.
Zum Ende der Argumentation muss noch gehören dass wenn der Grenzwert wieder in der Menge liegt, kann diese nicht leer sein, da sie zumindestens ihren Grenzwert enthält.
Bei der Folgenkonvergenz muss nun jede konvergente Teilfolge einen Grenzwert in der Teilmenge haben.
Ich denke ich sollte ich dieselbe Folge wie oben nehmen, und dort dann die konvergenten Teilfolgen rausschreiben und einzelnt überprüfer. Muss ich dann nicht auch noch überprüfen ob die einzelnen Teilfolgen konvergent sind?
Grüße,
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du ne Folge in dem [mm] A_{\infty} [/mm] hast, dann liegen alle Glieder in den [mm] A_k's, [/mm] die ja kompakt sind, also ne konvergente Teilfolge haben. Dieser Grenzwert muss auch in [mm] A_{\infty} [/mm] liegen.
Das war die kurze Version. Musst vll hie und da n bissl genauer ausarbeiten.
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