kommutativer Ring, injektiv < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring. Für alle r,s [mm] \in [/mm] R gelte, daß rs = 0 nur für r=0 oder s= 0 möglich ist.
Beweisen Sie:
1. Für alle a [mm] \in [/mm] R, a [mm] \not= [/mm] 0 ist die Abbildung [mm] f_{a}: [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] R, [mm] f_{a}(x)=ax [/mm] für alle e [mm] \in [/mm] R injektiv
2. Wenn R nur endlich viele Elemte enthält, dann ist R ein Körper |
Hierzu meine Lösung zu 1.
aus x,y [mm] \in [/mm] R und [mm] x\not=y [/mm] muß folgen [mm] f_{a}(x) \not= f_{a}(y)
[/mm]
d.h. ax [mm] \not= [/mm] ay.
Laut voraussetzung ist a [mm] \not= [/mm] 0 und damit folgt x [mm] \not= [/mm] y.
Aber diese argumentation erscheint mir irgendwie zu billig, oder?
und bei 2. fehlt mir die Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei R ein kommutativer Ring. Für alle r,s [mm]\in[/mm] R gelte, daß
> rs = 0 nur für r=0 oder s= 0 möglich ist.
>
> Beweisen Sie:
> 1. Für alle a [mm]\in[/mm] R, a [mm]\not=[/mm] 0 ist die Abbildung [mm]f_{a}:[/mm] R
> [mm]\rightarrow[/mm] R, [mm]f_{a}(x)=ax[/mm] für alle e [mm]\in[/mm] R injektiv
> 2. Wenn R nur endlich viele Elemte enthält, dann ist R ein
> Körper
> Hierzu meine Lösung zu 1.
>
> aus x,y [mm]\in[/mm] R und [mm]x\not=y[/mm] muß folgen [mm]f_{a}(x) \not= f_{a}(y)[/mm]
>
> d.h. ax [mm]\not=[/mm] ay.
> Laut voraussetzung ist a [mm]\not=[/mm] 0 und damit folgt x [mm]\not=[/mm]
> y.
>
> Aber diese argumentation erscheint mir irgendwie zu billig,
> oder?
Diese Argumentation ist Unsinn: du setzt x [mm] \not= [/mm] y voraus und folgerst x [mm] \not= [/mm] y ????
Sei [mm] f_a(x) [/mm] = [mm] f_a(y) [/mm] , dann ax=ay, also a(x-y) = 0. Da a [mm] \not= [/mm] 0, folgt x=y
FRED
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> und bei 2. fehlt mir die Idee.
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mo 03.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> und bei 2. fehlt mir die Idee.
die hängt sehr eng mit 1. zusammen. betrachte zu $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] die abbildung [mm] $f_a$. [/mm] ist diese injektiv? surjektiv? welches element wird demnach insbesondere getroffen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
Injektiv ist sie. Aber was hat die surjektivität mit der endlichkeit der anzahl und der aussage dass aus dem Ring dann ein Körper wird zu tun?
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> Injektiv ist sie. Aber was hat die surjektivität mit der
> endlichkeit der anzahl
Hallo,
wahrscheinlich habt Ihr, als Ihr Injektivität/Surjektivität durchgenommen habt, gezeigt, daß injektive Abbildungen zwischen zwei gleichmächtigen endlichen Mengen auch surjektiv sind.
Falls Ihr's nicht gezeigt habt, kannst Du's ja mal machen, anschaulich sollte die Aussage klar sein.
Also sind für alle [mm] a\not=0 [/mm] die [mm] f_a [/mm] surjektiv.
> und der aussage dass aus dem Ring
> dann ein Körper wird zu tun?
Was brauchst Du denn, damit der Ring ein Körper ist?
Gruß v. Angela
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