kommutativen Ring mit 1 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 18.05.2011 | | Autor: | wonda |
| Aufgabe | Es sei k [mm] \in \IZ [/mm] keine Quadratzahl. Auf [mm] \IZ ×\IZ [/mm] de nieren wir die Operationen:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und
(a, b) · (c, d) = (ac + bdk, ad + bc).
Weisen Sie nach, dass [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] mit dieser Operation einen kommutativen Ring mit 1 bildet. Bestimmen Sie die Einheiten dieses Rings. Handelt es sich um
einen Integritätsbereich? |
Eigentlich müsste man jetzt die Definition eines kommutativen Ring mit 1 abarbeiten. Dauert mir aber zu lange und ich habe mich gefragt, ob man das nicht anders zeigen kann.
Oft wird [mm] \IZ [/mm] als Beispiel für einen Integritätsbereich (Integritätsring) angegeben. Nun soll der Ring jedoch [mm] (\IZ [/mm] x [mm] \IZ,+,.) [/mm] lauten, d.h. mit [mm] \IZx\IZ [/mm] ist das besondere. Kann man argumentieren:
[mm] \IZ [/mm] ist ein endliche Integritätsbereich und somit ist [mm] \IZ [/mm] ein Körper.(wurde bereits bewiesen)
[mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] ist nun ebenfalls ein Körper, da die beiden Operationen in [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] auch wieder abgeschlossen sind.
[mm] \Rightarrow (\IZ [/mm] x [mm] \IZ,+,.) [/mm] ist endlicher Integritätsbereich
[mm] \Rightarrow (\IZ [/mm] x [mm] \IZ,+,.) [/mm] ist kommutativen Ring mit 1
(sollte gelten da jeder endlicher Integritätsbereich offensichtlich ein kommutativen Ring mit 1 ist)
Bin mir dabei nicht sicher, ob man es wirklich so machen kann oder einem nichts weiter übrig bleibt, als die Def. zu zeigen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Es sei k [mm]\in \IZ[/mm] keine Quadratzahl. Auf [mm]\IZ ×\IZ[/mm] de nieren
> wir die Operationen:
> (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und
> (a, b) · (c, d) = (ac + bdk, ad + bc).
> Weisen Sie nach, dass [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] mit dieser Operation einen
> kommutativen Ring mit 1 bildet. Bestimmen Sie die Einheiten
> dieses Rings. Handelt es sich um
> einen Integritätsbereich?
> Eigentlich müsste man jetzt die Definition eines
> kommutativen Ring mit 1 abarbeiten. Dauert mir aber zu
> lange und ich habe mich gefragt, ob man das nicht anders
> zeigen kann.
>
> Oft wird [mm]\IZ[/mm] als Beispiel für einen Integritätsbereich
> (Integritätsring) angegeben. Nun soll der Ring jedoch [mm](\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ,+,.)[/mm] lauten, d.h. mit [mm]\IZx\IZ[/mm] ist das besondere. Kann
> man argumentieren:
>
> [mm]\IZ[/mm] ist ein endliche Integritätsbereich und somit ist [mm]\IZ[/mm]
> ein Körper.(wurde bereits bewiesen)
Das würde mich wundern. [mm] $\IZ$ [/mm] ist weder endlich noch ein Körper! Was soll denn z.B. das muliplikative Inverse von 2 in [mm] $\IZ$ [/mm] sein?
> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] ist nun ebenfalls ein Körper, da die beiden
> Operationen in [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] auch wieder abgeschlossen sind.
Selbst wenn [mm] $\IZ$ [/mm] Körper wäre, müsste dies nicht der Fall sein.
Musst dich wohl an die Definitionen machen. Dabei kannst du dich ja immer noch auf die Eigenschaften von [mm] $\IZ$ [/mm] zurückziehen, wenn du sie brauchst. Damit folgt z.B. ganz schnell, dass [mm] $(\IZ \times \IZ,+)$ [/mm] abelsche Gruppe ist. Insbesondere Die Multiplikation musst du dir nochmal genauer anschauen.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 18.05.2011 | | Autor: | wonda |
stimmt bin ich doof
[mm] \IZ [/mm] ist nicht endlich voll verpeielt gerade.
also Definitionen abarbeiten
danke schön
|
|
|
|
