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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Kathinka |
| Aufgabe | | welche 2x2 matrizen kommutieren bezüglich der multiplikation mit allen 2x2 matrizen |
hallöchen :)
ich habe erst zwei allgemeine matrizen erstellt mit a-h und diese einmal A*B und einmal B*a ausmultipliziert:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] * [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
also :
[mm] \pmat{ ae+bg & af*bh \\ ce+dg & cf+dh } [/mm] * [mm] \pmat{ ea+fe & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd }
[/mm]
diese beiden matrizen müssen, damit es kommutativ ist, gleich sein. also habe ich sie gleichgesetzt. dann habe ich für jede "stelle" der matriz eine gleichung.
links oben:
ae+bg=ea+fe
bg=fe
bg-fe=0
rechts oben:
af+bh=eb+fd
f*(a-d) + b*(h-e)=0
links unten:
ce+dg=ga+hc
c*(e-h)+g*(d-a)=0
rechts unten:
cf+dh=gb+hd
gb-ef=0
links oben und rechts unten steht somit das gleiche....
an dieser stelle komme ich nun nicht weiter. ich habe 4 gleichungen, 8 unbekannte, es wird somit unendlich viele lösungen geben die alle wohl eine ähnliche form haben werden, aber wie finde ich das nun heraus?
keine ahnung wie ich weitermachen muss. wäre dankbar für hilfe!
lg katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 23.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Katja!
> welche 2x2 matrizen kommutieren bezüglich der
> multiplikation mit allen 2x2 matrizen
> hallöchen :)
>
> ich habe erst zwei allgemeine matrizen erstellt mit a-h und
> diese einmal A*B und einmal B*a ausmultipliziert:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\pmat{ e & f \\ g & h }[/mm] = [mm]\pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
> * [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> also :
>
> [mm]\pmat{ ae+bg & af*bh \\ ce+dg & cf+dh }[/mm] * [mm]\pmat{ ea+fe & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd }[/mm]
>
> diese beiden matrizen müssen, damit es kommutativ ist,
> gleich sein. also habe ich sie gleichgesetzt. dann habe ich
> für jede "stelle" der matriz eine gleichung.
>
> links oben:
> ae+bg=ea+fe
> bg=fe
> bg-fe=0
>
> rechts oben:
> af+bh=eb+fd
> f*(a-d) + b*(h-e)=0
>
> links unten:
> ce+dg=ga+hc
> c*(e-h)+g*(d-a)=0
>
> rechts unten:
> cf+dh=gb+hd
> gb-ef=0
>
> links oben und rechts unten steht somit das gleiche....
>
> an dieser stelle komme ich nun nicht weiter. ich habe 4
> gleichungen, 8 unbekannte, es wird somit unendlich viele
> lösungen geben die alle wohl eine ähnliche form haben
> werden, aber wie finde ich das nun heraus?
Nimm dir eine beliebige Matrix $A$, die mit allen anderen kommutiert.
Zeige zuerst (etwa durch Multiplikation mit Elementarmatrizen, also mit Matrizen die genau eine 1 und sonst nur 0en enthalten), dass alle Eintraege ausserhalb der Diagonalen von $A$ 0 sein muessen.
Zeige dann wieder durch Multiplikation mit geeigneten Matrizen, dass alle Diagonalelemente von $A$ gleich sein muessen.
Und dann zeigst du schliesslich, dass jede Diagonalmatrix mit gleichen Diagonaleintraegen mit jeder anderen Matrix kommutiert.
Damit hast du das Problem dann geloest.
LG Felix
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