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| Aufgabe | | Man beweise: Wenn in einer (multiplaktiv geschriebenen) Gruppe G jedes a [mm] \in [/mm] G die Gleihung [mm] a^2=1 [/mm] erfüllt,dann ist G kommutativ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich was kommutativ ist, aber leider keinen ersten Ansatz für die Aufgabe.
Kann mir jeand helfen?
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Guten Abend.
Also zu zeigen ist: Jede Gruppe, in welcher jedes Element [mm] \not= [/mm] $id$ ordnung zwei hat, ist abelsch,also $xy=yx \ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] G$.
Jetzt versuch mal das Inverse von einem Element aus $G$ zu bestimmen, wenn [mm] $a^2=id$ [/mm] gilt. Was stellst du da fest?
Als nächstes nimm dir zwei elemente $x$ und $y$ her. Zeige dann das $xy=yx$ indem du zuerst die berechneten Inversen nutzt und dann noch ausnutzt das jedes Element [mm] \not= [/mm] id Ordnung zwei hat(Normalerweise müsste man hier noch eine Fallunterscheidung machen zwischen $xy=id$ und [mm] $yx\not=id$ [/mm] )
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hallo,danke für deine Antwort.
ich weiß nicht so richtig was mit id anzufangen, ist das die Exiatenz des neutralen Elements, oder das Inverse,auf jedenfall wenn ich angenommen a=2
nehme , ist dannn wohl [mm] 2^2=4=id?
[/mm]
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Schuldigung ich meine [mm] $1_{G}=id$, [/mm] also das neutrale Element der Gruppe. Also ich meinte dass wenn [mm] $a^{2}=1_{G} \gdw a=a^{-1}$. [/mm] Warum gilt das? Was heißt das?
Dann guckt dir jetzt mal $xy=.....$
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ja das wäre doch nur bei null der Fall oder?
denn das inverse von eins ist -1 , und 1 iist nicht gleich -1.
oder bezieht sich das auf den komplexen Zahlenbereich?
mit dem nachweis der Existenz des neutralen Elementes und des inversen Elementes wäre G bestimmt,oder?
wenn xy = yx ist, dann sind diese doch äquivalent,heisst transitiv, symmetrisch und refl.,oder?
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Wieso denn nur bei Null. Du hast ja als Voraussetzung das [mm] $a^2=1$ [/mm] ist. Diese 1 hat nichts mit der ganzen Zahl 1 zu tun. Wir sind jetzt ja in einer Gruppe. Die [mm] $1=1_{G}$ [/mm] ist das Element aus $G$ für das gilt das [mm] $1_{G}a=a1_{G}=a [/mm] \ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G$. Es gibt in einer Gruppe nur ein solches Element. Und das gibt es ja auch weil $G$ nach Voraussetzung eine Gruppe ist(schau dir mal die Axiome an eine Gruppe an)
Das hat auch nichts mit komplexen Zahlen zu tun
Und eine Gruppe ist kommutativ wenn für alle Elemente $x,y [mm] \in [/mm] G$ gilt das $xy=yx$. Das hat auch nichts mit Transitiv oder ähnlichem zu tun.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Seien a,b [mm] \in [/mm] G. Dann :
$1 = [mm] (ab)^2 [/mm] = abab. $
Multiplikation von links mit a liefert:
$a = a^2bab = bab. $
Multiplikation von links mit b liefert:
$ba = b^2ab = ab$
FRED
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