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Hi!
Als Aufgabe steht in meinem Buch: für [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] mit [mm] x_{1}\*\*\*x_{n}=1 [/mm] gilt [mm] x_{1}+...+x_{n}\ge [/mm] n
Dabei tritt das Gleichheitszeichen nur ein im Fall [mm] x_{1}=...=x_{n}=1
[/mm]
Ich frage mich schon, was hier eigentlich zu zeigen ist, und was gilt. wenn ich davon ausgehe, dass nur der letzte Satz zu zeigen ist und das davor gilt, dann ist doch [mm] 3,\bruch{1}{3},1,1,1 [/mm] ist für [mm] x_{1},...,x_{5} [/mm] ein klares Gegenbeispiel oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 12.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, denn 3+1/3+1+1+1>5 also kein Gleichzeichen!
zu zeigen ist, das fuer alle [mm] x_i [/mm] die die erste gleichung erfuellen die Ungleichung fuer die Summe gilt.
danach, dass in dem [mm] \ge [/mm] das = nur gilt wenn ALLE [mm] x_i=1
[/mm]
du hast ein Beispiel, wo nur einige [mm] x_i=1 [/mm] sind und da gilt das > Zeichen.
Gruss leduart.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 So 12.10.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
na toll, es ist das = im [mm] \ge [/mm] gemeint... das hat zu verwirrung geführt.
ok danke!
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um erst einmal zu zeigen, dass alle n-Tupel, die die Bedingung erfüllen, die Ungleichung erfüllen, wird als Lösung folgendes vorgeschlagen:
"Die Behauptung gilt für n=1. Für den Schluss auf n+1 betrachten wir o.B.d.A. den Fall (*) [mm] x_{n}\le 1\le x_{n+1} [/mm] und wenden die Induktionsannahme auf das n-Tupel [mm] x_{1},...,x_{n-1},x_{n}*x_{n+1} [/mm] an. Aus (*) folgt [mm] x_{n}+x_{n+1}\ge 1+x_{n}*x_{n+1} [/mm] und mit der Induktionsannahme weiter
[mm] x_{1}+...+x_{n}+x_{n+1}\ge x_{1}+...+x_{n-1}+x_{n}*x_{n+1}+1\ge [/mm] n+1"
Ich verstehe den Induktionsschluss. Ich glaube aber nicht, dass er, so wie er hier angewendet wird einen vollständigen Beweis bildet.
Was doch zu zeigen ist (wenn ich vollst. Induktion über n anwende), ist:
wenn die Behauptung für n beliebige Tupel gilt, dann gilt sie auch für n+1 beliebige Tupel.
Tatsächlich lassen sich beliebige n Tupel darstellen als [mm] x_{1},...,x_{n-1},x_{n}*x_{n+1} [/mm] mit [mm] x_{n}\le 1\le x_{n+1}. [/mm] Zum Beispiel lassen sich die 4 Tupel 0.3, 2.1, 7.0, 2.5 darstellen als 0.3, 2.1, 7.0, (0.5*5). Keine Frage.
Nun zeigt ja der Beweis, dass wenn die Behauptung für diese n beliebigen Tupel gilt, dann gilt:
[mm] x_{1}+...+x_{n}+x_{n+1}\ge [/mm] n+1
Damit wurde aber nur gezeigt: wenn die Behauptung für n beliebige Tupel gilt, dann gilt sie auch für n+1 beliebige Tupel, deren letzten beiden Glieder als Produkt eines der n Tupel ergibt.
Das ist doch kein vollständiger Beweis ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 15.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du nimmst ein beliebiges n+1 Tupel, dann das Produkt deiner 2 letzten Glieder.
Dann suchst du unter ALLEN n Tupeln das ( oder eines) aus, in dem die Zahl vorkommt. Das muss es geben! die Zahl nennst du dann [mm] x_n. [/mm] da es ja auf die Numeriereung nicht ankommt.
Das ist der Zwischensatz, der in dem argument vielleicht fuer dich fehlt.
Ich hoffe, damit ist es klarer.
Gruss leduart
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> Du nimmst ein beliebiges n+1 Tupel, dann das Produkt
> deiner 2 letzten Glieder.
> Dann suchst du unter ALLEN n Tupeln das ( oder eines) aus,
> in dem die Zahl vorkommt. Das muss es geben! die Zahl
> nennst du dann [mm]x_n.[/mm] da es ja auf die Numeriereung nicht
> ankommt.
du meinst die Zahl, die im vorliegenden Beweis als [mm] x_{n}*x_{n+1} [/mm] bezeichnet wird, oder? Diese Zahl ist dann ja das n-te Glied der n Tupel.
Nun zum Gesamtverständnis: Was ist wenn die letzten beiden Glieder deiner n+1 Tupel beide kleiner als 1 sind? Dann gibt es unter allen n Tupeln nicht umbedingt ein n-Tupel, dass das Produkt der beiden Glieder enthält UND das ein Glied enthält, dass sich darstellen lässt als [mm] x_{n}*x_{n+1} [/mm] mit [mm] x_{n}\le 1\le x_{n+1}. [/mm] Oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 16.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)alle Glieder des n-Tupels sind 1. Dann bist du schon fertig.
b) nicht alle sind 1, dann gibt es mindestens ein [mm] x_i<1 [/mm] und ein [mm] x_k>1
[/mm]
da es auf die Nummerierung nicht ankommt nennst du die die 2 letzten Glieder.
Wenn du das nicht magst, mach denselben beweis aber mit [mm] x_i+x_k [/mm] und [mm] x_i*x_k
[/mm]
wo die Dinger stehen ist doch egal!
Gruss leduart
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