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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:00 Mi 03.01.2007 | | Autor: | klamao |
| Aufgabe | Bestimmen sie von den folgenden Abbildungen von [mm] R^2 [/mm] in [mm] R^2 [/mm] die Transformationen und die Kollineationen: alpha1((x,y))=(2x+1,y³),
alpha2((x,y))=(x³-x,2y),
alpha3((x,y))=(2x,x-3),
alpha4((x,y))=(y+2,5x),
alpha5((x,y))=(-x,-y),
alpha6((x,y))=(x+y,x-y).
Geben sie für die Kollineationen die Gleichung der Bildgeraden an.
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Hallo,
kann mir bitte jemand anhand eines Beispiels zeigen, wie man das macht?
Bei einer Transformation muss man ja die Abbildung auf Bijektivität untersuchen. Ich kenn das aber nur in der Form einer Gleichung.Hier ist es aber in Koordinatenschreibweise. Wie soll man das hier machen??
Bei den Kollineationen muss man irgendwie versuchen eine Gerade aufzustellen, aber wie?
Hoffe es gibt hier jemanden, der mehr Ahnung hat, als ich,
lg
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Hallo klamao,
> Bestimmen sie von den folgenden Abbildungen von [mm]R^2[/mm] in [mm]R^2[/mm]
> die Transformationen und die Kollineationen:
> alpha1((x,y))=(2x+1,y³),
> alpha2((x,y))=(x³-x,2y),
> alpha3((x,y))=(2x,x-3),
> alpha4((x,y))=(y+2,5x),
> alpha5((x,y))=(-x,-y),
> alpha6((x,y))=(x+y,x-y).
> Geben sie für die Kollineationen die Gleichung der
> Bildgeraden an.
>
> Hallo,
> kann mir bitte jemand anhand eines Beispiels zeigen, wie
> man das macht?
> Bei einer Transformation muss man ja die Abbildung auf
> Bijektivität untersuchen. Ich kenn das aber nur in der Form
> einer Gleichung.Hier ist es aber in
> Koordinatenschreibweise. Wie soll man das hier machen??
Das Ergebnis der Abbildung ist doch wieder ein Vektor des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Also kannst Du auch bei der Prüfung auf Injektivität mit einer Gleichung arbeiten: Beispielsweise
[mm] $\alpha_1(x_1,y_1)=\alpha_1(x_2,y_2)$. [/mm] Dann folgt [mm] $(2x_1+1, y_1^3)=(2x_2+1,y_2^3)$. [/mm] Nun sind aber zwei Paare genau dann gleich, wenn sie die gleiche 1. und 2. Komponente haben; also folgt [mm] $x_1=x_2$ [/mm] und [mm] $0=y_1^3-y_2^3=(y_1-y_2)(y_1^2+y_1y_2+y_2^2)$.
[/mm]
Der 2. Faktor ist aber [mm] $=(y_1 +1/2y_2)^2 +3/4y_2^2$. [/mm] Nun sieht man leicht, daß der nur dann 0 ist, wenn [mm] $y_1=0=y_2$ [/mm] ist. Also ist auch [mm] $y_1=y_2$ [/mm] und daher [mm] $\alpha_1$ [/mm] injektiv.
Aber versuch doch mal, statt Injektivität und Surjektivität getrennt zu prüfen, jeweils die Umkehrabbildung der [mm] $\alpha_i$ [/mm] zu bestimmen.
Zu den Kollineationen bin ich leider überfragt.
Mfg
zahlenspieler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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