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kochsche Schneeflocke: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Mi 08.12.2010
Autor: Mathegirl

Aufgabe
Berechne die Fläche der Schneeflocke, wobei das Startdreieck Kantenlänge 1 hat.

So...ich komme gerade nicht wirklich zu einem Endergebnis...

Ich bin von dem Startdreieck ausgegangen mit kantenlänge 1. und habe

[mm] F(A_0)= \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] erhalten.

[mm] F(A_1)= \bruch{\wurzel{3}}{4}+ \bruch{3}{4}*\bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm]

[mm] F(A_n)= F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{n}\bruch{4}{9}^i [/mm]  müsste ja dann die Gesamflächenformel sein....

aber wie berechne ich speziell für Kantenlänge =1?

Gruß Mathgirl

        
Bezug
kochsche Schneeflocke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Mi 08.12.2010
Autor: reverend

Hallo Mathegirl,

hier gehts doch um eine einfache geometrische Reihe.

> Berechne die Fläche der Schneeflocke, wobei das
> Startdreieck Kantenlänge 1 hat.
>  So...ich komme gerade nicht wirklich zu einem
> Endergebnis...
>  
> Ich bin von dem Startdreieck ausgegangen mit kantenlänge
> 1. und habe
>
> [mm]F(A_0)= \bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm] erhalten.

[ok]

> [mm]F(A_1)= \bruch{\wurzel{3}}{4}+ \bruch{3}{4}*\bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm]

Im ersten Schritt kommen 3 Dreiecke der Kantenlänge [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] hinzu. Da jedes davon den Flächeninhalt [mm] \bruch{1}{9}*\bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] hat, ist [mm] F(A_1) [/mm] also...

> [mm]F(A_n)= F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{n}\bruch{4}{9}^i[/mm]

Im jedem Schritt wird die Zahl der Außenkanten vervierfacht. Das hast du offenbar richtig berücksichtigt. Aber woher kommen die 3/4 vor der Summe?

Außerdem müsste die Summe bis [mm] \infty [/mm] laufen bzw. der entsprechende Grenzwert gebildet werden.

>  müsste ja dann die Gesamflächenformel sein....
>  
> aber wie berechne ich speziell für Kantenlänge =1?

Na, indem Du (wie oben berechnet) [mm] A_0 [/mm] für die Kantenlänge 1 einsetzt, also [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                
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kochsche Schneeflocke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mi 08.12.2010
Autor: Mathegirl

Die [mm] \bruch{3}{4} [/mm] habe ich irgendwie beim Umformen erhalten, stimmt das so nicht?

habe folgendes gemacht:

[mm] F(A_n)= F(A_0)+F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}4^{i-1}*3*\bruch{1}{9}^i [/mm] = [mm] F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{4}{9}^i [/mm]

okay....und "einfach nur " [mm] A_0 [/mm] mit Kantenlänge 1 einsetzen und das wars schon? okay...DAS schien mir fast zu einfach!



Bezug
                        
Bezug
kochsche Schneeflocke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mi 08.12.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,

ah. Ich habe offenbar ein Brett vor dem Kopf. Wahrscheinlich ein Schneebrett, äh, Snowboard.

Doch, das stimmt so, außer dass Dir Klammern um den Bruch fehlen - klick mal auf die Formel, dann siehst Du die LaTeX-Anweisung:

> [mm]F(A_n)= F(A_0)+F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}4^{i-1}*3*\left(\bruch{1}{9}\right)^i[/mm]
> =
> [mm]F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}\left(\bruch{4}{9}\right)^i[/mm]
>  
> okay....und "einfach nur " [mm]A_0[/mm] mit Kantenlänge 1 einsetzen
> und das wars schon? okay...DAS schien mir fast zu einfach!

Ist doch schön, wenn es auch mal zu einfach ist, oder?
;-)

Grüße
reverend


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