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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 25.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | | Von welchen Punkt des Schaubilds f mit [mm] f(x)=2x^2 [/mm] hat der Punkt M(0/5) den kleinsten Abstand? |
hierfür brauch ich einen Lösungsweg mit Ergebnis bitte...solch eine Aufgabe ist für meine Klausur am Donnerstag wichtig...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo redo!
Verwende hier die Abstandsformel für zwei Punkte im [mm] $\IR^2$ [/mm] (die sich mit Hilfe des Herrn Pythagoras herleiten lässt):
[mm] $$d_{PQ} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$$
[/mm]
Setzen wir hier nun die gegebenen Werte ein:
[mm] $$d_{PQ} [/mm] \ = \ d(x) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x-0\right)^2+\left(2x^2-5\right)^2 \ }$$
[/mm]
Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen (Nullstellen der 1. Ableitung usw.).
Allerdings kann man es sich hier auch wesentlich vereinfachen, wenn man sich die Ersatzfunktion $g(x) \ = \ [mm] [d(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x-0\right)^2+\left(2x^2-5\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2+4x^4-20x^2+25 [/mm] \ = \ ...$ betrachtet.
Denn schließlich ist die Wurzelfunktion auch dort extremal, wo die Argumente extremal sind.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 25.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | | [mm] =\wurzel{(x-2)^2+(2x^2-5)^2} [/mm] |
hallo
ja wie lautet dann das Ergebnis?! ich hab keine ahnung wie ich jetzt weiter machen soll?!
aber bis dahin hab ich es jetzt verstanden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 25.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] d_{PQ}=d(x)= \wurzel{(x-0)²+(2x²-5)²}=\wurzel{x²+(2x²-5)²}
[/mm]
Die Funktion d(x) zeigt dir also jetzt den Abstand zwischen der Funktion und dem Punkt M(0|5) für ein beliebiges x.
Da der Abstand minimal werden soll, müsstest du nun diese Wurzelfunktion ableiten.
Aber da du das sicher noch nicht gelernt hast, bietet sich die schon erwähnte Alternative:
Du quadrierst die ganze Abstandsfunktion und erhälst d²(x)=x²+(2x²-5)².
Wenn du die binomische Formel löst, kannst du das sicher ableiten und 0 setzen, um das Minimum zu finden!
Das ist genau das, was Loddar schon vor mir gesagt hat.
Wenn du wissen willst, warum du einfach quadrieren darfst: Wenn eine Funktion z.B. einen Hochpunkt irgendwo hat, dann wird sie, nachdem sie quadriert wurde, immer noch an der selben Stelle den Hochpunkt haben! Ist das einleuchtend?
Aber nun rechne erstmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 25.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | also ich hab jetzt [mm] x^2+4x^2-20x^2+25
[/mm]
die ableitung wäre 2x+8x-40x
und die ableitung jetzt gleich null setzen?!
was kommt da jetzt raus?! 30? |
also bis dahin habe ich das!
kannst du mal schauen ob das stimmt und bitte ergänzen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 25.09.2007 | | Autor: | Teufel |
[d²(x)]'=2x+16x³-40x=16x³-38x
Du hast aus dem [mm] x^4 [/mm] einfach ein x² gemacht!
Dann musst du die Funktion 0 setzen.
[d²(x)]'=16x³-38x=0
Weißt du nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 25.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | [mm] 16x^3-38x=0
[/mm]
ein x kann ich ausklammern dann hab ich schon mal 0
und dann heißt es [mm] 16x^2-38=0
[/mm]
dann lautet das ergebnis [mm] \wurzel{2,375} [/mm] |
stimmt das jetzt?! oder hab ich wieder ein Fehler gemacht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 25.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Sollte so stimmen, aber du sollst ja einen Punkte (oder mehrere) bestimmen! Außerdem musst du noch bestimme, ob die gefundenen Extremstellen 0 und [mm] \pm \wurzel{2,375} [/mm] ein Maximum oder Minimum darstellen! z.,B. mit dem Vorzechenwechsel der 1. Ableitung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Di 25.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | | aufgabenstellung: Von welchen Punkt des Schaubildes f mit [mm] f(x)=2x^2 [/mm] hat der Punkt M(0/5) den kleinsten Abstand? |
also so lautet die Aufgabe! also kann das sein das meine Lösung dann stimmt?!
kannst du mir mal deinen perfekten Lösungsweg zeigen?!
dann kann ich vergleichen!
gruß redo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 25.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Ich würde das genauso wie beschrieben machen.
War doch alles richtig, nur dass die Aufgabe PUNKTE verlangt und keine einzelnen x-Werte!
Also müsstest du, nachdem du geguckt hast was Minima und Maxima sind, die gefundenen x-Werte in f(x)=2x² einsetzen um die dazugehörigen y-Werte zu ermitteln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 26.09.2007 | | Autor: | redo |
| Aufgabe | Von welchen Punkt des Schaubildes f mit [mm] f(x)=2x^2 [/mm] hat der Punkt M(0/5) den kleinsten Abstand?
[mm] =\wurzel{(x-0)^2+(2x^2-5)^2}
[/mm]
[mm] d^2(x)=x^2+(2x^2-5)^2
[/mm]
[mm] x^2+4x^4-20x^2+25 [/mm] davon jetzt die Ableitung?!
[mm] 2x+16x^3-40x [/mm] und das gleich null setzen..?!
[mm] 16x^3-38x=0 [/mm] ein x kann man ausklammern also hab ich x= 0
[mm] 16x^2-38=0 [/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{2,375}
[/mm]
das ist mein x-wert?!
dann mein x wert in die zweite ableitung einsetzen und schauen ob es ein Tief-oder Hochpunkt ist?! in dem Fall ist es ein Tiefpunkt! oder?
dann mein xwert in die ausgangsfunktion einsetzen [mm] 2x^2 [/mm] dann hab ich 4,75 rausbekommen?! dann ist mein gesuchter Punkt Q(1,54/4,75) oder?!
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ok das hab ich jetzt mal gerechnet....kann mir einer bitte sagen ob das stimmt?!
und wenn nicht dann bitte ergänzen und sagen was falsch ist!
gruß redo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal!
Alles was du geschrieben hast, stimmt! Aber eine kleine Sache fehlt noch.
Es gibt noch einen 2. Punkt, der genauso weit von M(0|5) entfernt ist! und der liegt genau auf der anderen Seite. Kannst du dir ja sicher auch vorstellen, da die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Und als Ergebnis hattest du ja auch + und - [mm] \wurzel{2,375} [/mm] rausbekommen.
Also hat noch ein 2. Punkt Minimalen Abstand von M und der wäre P(-1,54|4,75).
Na es geht doch :)
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