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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mo 28.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Betr. folg. Untergruppe der [mm] S_4:
[/mm]
[mm] S'_3:=\{\sigma \in S_4; \sigma(4)=4\}, V_4:=<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)>
[/mm]
i) bestimme alle elemente von [mm] V_4
[/mm]
ii) zeige [mm] V_4 [/mm] ist Normalteiler.
iii) Es gilt [mm] S'_3\cong S_3
[/mm]
iv) Zeige: es gelten [mm] S_4=S'_3V_4 [/mm] und [mm] S_4/V_4 \cong S_3 [/mm] |
zu i) [mm] V_4={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
[/mm]
zuii) da [mm] V_4 [/mm] produkt zweier Transposition dann gilt [mm] \sigma= \tau_i \circ \tau_j [/mm]
und erhalte [mm] \signum \circ V_4 \circ \sigma^{-1}= \tau_i \circ \tau_j \circ V_4 \tau_j^{-1} \circ \tau_i^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z.z [mm] \tau_j \circ V_4 \tau_j^{-1}=V_4
[/mm]
[mm] \tau_j \circ [/mm] (ab)(cd) [mm] \tau_j^{-1}=\tau_j \circ [/mm] (ab) [mm] \tau_j^{-1} \circ \tau_j \circ [/mm] (cd) [mm] \tau_j^{-1}=(\tau_j(a),(\tau_j(b))(\tau_j(c)\tau_j(d))
[/mm]
habe ich es dann bewiesen dass [mm] V_4 [/mm] NT ist?
zu iii) da fängt schon das problem an das oben def. [mm] \sigma \in S_4 [/mm] mit [mm] \sigma(4)=4, [/mm] wa ist mit [mm] \sigma(4)=4 [/mm] gemeint? heißt das das es ein 4-zykel ist?
zu iv) habe ich leider keine idee.
ist es bis jetzt richtig?
ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
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Guten abend,
> Betr. folg. Untergruppe der [mm]S_4:[/mm]
> [mm]S'_3:=\{\sigma \in S_4; \sigma(4)=4\}, V_4:=<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)>[/mm]
>
> i) bestimme alle elemente von [mm]V_4[/mm]
> ii) zeige [mm]V_4[/mm] ist Normalteiler.
> iii) Es gilt [mm]S'_3\cong S_3[/mm]
> iv) Zeige: es gelten
> [mm]S_4=S'_3V_4[/mm] und [mm]S_4/V_4 \cong S_3[/mm]
> zu i) [mm]V_4={id, (1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}[/mm]
genau es sind alle Elemente von diesem Typ.
>
> zuii) da [mm]V_4[/mm] produkt zweier Transposition dann gilt [mm]\sigma= \tau_i \circ \tau_j[/mm]
Ein Element aus V4 ist ein Produkt disjunkter Zykeln.
> und erhalte [mm]\signum \circ V_4 \circ \sigma^{-1}= \tau_i \circ \tau_j \circ V_4 \tau_j^{-1} \circ \tau_i^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z.z [mm]\tau_j \circ V_4 \tau_j^{-1}=V_4[/mm]
> [mm]\tau_j \circ[/mm]
> (ab)(cd) [mm]\tau_j^{-1}=\tau_j \circ[/mm] (ab) [mm]\tau_j^{-1} \circ \tau_j \circ[/mm]
> (cd)
> [mm]\tau_j^{-1}=(\tau_j(a),(\tau_j(b))(\tau_j(c)\tau_j(d))[/mm]
>
> habe ich es dann bewiesen dass [mm]V_4[/mm] NT ist?
Die Darstellung der Rechnung ist leider etwas durcheinander gekommen. Aber du hast den richtigen Weg! Du musst nur noch begründen warum das Ergebnis in V4 liegt.
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> zu iii) da fängt schon das problem an das oben def. [mm]\sigma \in S_4[/mm]
> mit [mm]\sigma(4)=4,[/mm] wa ist mit [mm]\sigma(4)=4[/mm] gemeint? heißt das
> das es ein 4-zykel ist?
Das soll heißen, dass in S3' alle Elemente liegen, die die 4 nicht permutieren wie (132)
>
> zu iv) habe ich leider keine idee.
Bei der letzten Aussage geht es mit Theorie. Ich gehe aber davon aus, dass man es per Hand nachrechnen soll. Wie sehen denn die Elemente in S3'V4 und S4/V4 aus?
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> ist es bis jetzt richtig?
> ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
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