kl. & gr. Lösungsformel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mo 16.05.2005 | | Autor: | TheMesna |
Hallo
Ist zwar nicht auf unserem Prüfungsprogramm, trotzdem dacht ich es würd nicht schaden wenn ich die Herleitung der 2. Lösungsformeln erklären könnte. Könnt ihr mir dabei ein paar Tips geben?
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{ \bruch{p^{2}}{4} - q }
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = -b [mm] \pm \bruch{ \wurzel{ b^{2}- 4ac }}{2a}
[/mm]
und wieso wird letztere auch Mitternachtsformel bezeichnet?
Und noch was, z.B. auf Seite
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/formeln/formelnb.htm
sind die Lösungsformeln anders dargelegt. Ich denke doch dass meine beiden richtig sind oder?...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe TheMesna
ich will mal ganz kurz die Herleitung der zweiten Formel zeigen. Die erste ist nur ein Spezialfall davon. Da kannst du dann sicher selber machen.
> Hallo
>
> Ist zwar nicht auf unserem Prüfungsprogramm, trotzdem dacht
> ich es würd nicht schaden wenn ich die Herleitung der 2.
> Lösungsformeln erklären könnte. Könnt ihr mir dabei ein
> paar Tips geben?
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]-\bruch{p}{2} \pm \wurzel{ \bruch{p^{2}}{4} - q }[/mm]
>
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> [mm]x_{1,2}[/mm] = -b [mm]\pm \bruch{ \wurzel{ b^{2}- 4ac }}{2a}[/mm]
>
Ich denke, dass du die Formel nicht ganz richtig wiedergegeben hast. Sie sollte so heissen:
[mm] $x_{1,2}=\bruch{-b \pm \wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}$
[/mm]
Gemeint sind dabei die Lösungen folgender Gleichung:
[mm] $ax^2+bx+c=0$
[/mm]
Die Idee ist eigentlich nur, durch sogenannte Quadratische Ergänzung eine Quadratzahl zu erhalten, aus der man dann einfach die Wurzel ziehen kann.
Siehe selbst:
[mm] $ax^2+bx+c=0$
[/mm]
Dividiert durch $a_$:
[mm] $x^2+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a}=0$
[/mm]
oder:
[mm] $x^2+\bruch{b}{a}x=-\bruch{c}{a}$
[/mm]
Jetzt versuchen wir links eine Quadratzahl zu bekommen. Dazu verwenden wir folgendes Wissen:
[mm] $x^2+2dx+d^2=(x+d)^2$ [/mm] Hier haben wir also tatsächlich eine Quadratzahl.
Die Frage ist nur, was muss für $d_$ eingesetzt werden, um mit unserer obigen Gleichung in Harmonie zu treten?
Der Koeffizient bei $x_$ sollte die Lösung ins Auge springen lassen:
Es muss gelten: [mm] $2d=\bruch{b}{a}$ [/mm] oder [mm] $d=\bruch{b}{2a}$
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] $(x+\bruch{b}{2a})^2=x^2+\bruch{b}{a}x+\bruch{b^2}{4a^2}$
[/mm]
Zurück zur Aufgabe. Wir hatten ja:
[mm] $x^2+\bruch{b}{a}x=-\bruch{c}{a}$
[/mm]
Wenn ich nun auf beiden Seiten [mm] $\bruch{b^2}{4a^2}$ [/mm] addiere, erhalte ich:
[mm] $x^2+\bruch{b}{a}x+\bruch{b^2}{4a^2}=\bruch{b^2}{4a^2}-\bruch{c}{a}$
[/mm]
Das ist also:
[mm] $(x+\bruch{b}{2a})^2=\bruch{b^2}{4a^2}-\bruch{c}{a}$
[/mm]
Die rechte Seite auf einen Bruch gebracht:
[mm] $(x+\bruch{b}{2a})^2=\bruch{b^2}{4a^2}-\bruch{4ac}{4a^2}$
[/mm]
[mm] $(x+\bruch{b}{2a})^2=\bruch{b^2-4ac}{4a^2}$
[/mm]
Jetzt kann man also die Wurzel ziehen:
[mm] $x+\bruch{b}{2a}=\pm \wurzel{\bruch{b^2-4ac}{4a^2}}$
[/mm]
oder:
[mm] $x+\bruch{b}{2a}=\pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}$
[/mm]
Der Rest ist noch ganz einfach:
[mm] $x=-\bruch{b}{2a} \pm \bruch{\wurzel{b^2-4ac}}{2a}$
[/mm]
[mm] $x=\bruch{-b \pm \wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}$
[/mm]
>
> und wieso wird letztere auch Mitternachtsformel
> bezeichnet?
>
Das ist nur ein Scherz, der sich durchgesetzt hat. Viele Lehrer glauben, dass diese Formel so wichtig sei, dass man sie soooo gut lernen muss, dass, wenn man mitten in der Nacht geweckt wird und nach der Formel gefragt wird, diese sofort und korrekt wiedergegeben werden müsse! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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