kgV und ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 04.06.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Seien d,m [mm] \in \IN [/mm] . Zeigen Sie: Es gibt a, b [mm] \in \IN [/mm] mit ggT(a,b)=d und kgV(a,b)=m genau dann, wenn d Teiler von m ist. Bestimmen Sie alle Lösungen a,b [mm] \in \IN [/mm] mit d=10, m=100 |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Internetforum gestellt.
Hi erstmal,
ich finde keinen Einstieg in diese Aufgabe. Ich komme einfach nicht drauf, wie ggT(a,b)=10 und kgV(a,b)=100 berechnet wird. Mag sein das ich grad einfach ne Denkblockade habe weil ich die ganz Zeit nur andersherum gerechnet habe.
LG
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> Seien d,m [mm]\in \IN[/mm] . Zeigen Sie: Es gibt a, b [mm]\in \IN[/mm] mit
> ggT(a,b)=d und kgV(a,b)=m genau dann, wenn d Teiler von m
> ist. Bestimmen Sie alle Lösungen a,b [mm]\in \IN[/mm] mit d=10,
> m=100
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Internetforum
> gestellt.
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> Hi erstmal,
> ich finde keinen Einstieg in diese Aufgabe. Ich komme
> einfach nicht drauf, wie ggT(a,b)=10 und kgV(a,b)=100
> berechnet wird.
Im allgemeinen bestimmst Du ggT und kgV indem Du die Primfaktorzerlegung von a und b betrachtest...
In diesem Falle ggT=10, kgV=100 ist klar: in der Primfaktorzerlegung von $a$ und $b$ muss zumindest [mm] $2\cdot [/mm] 5$ auftreten. Setzt man z.B. $a = [mm] 2\cdot [/mm] 5$, dann muss, wegen [mm] $100=2^2\cdot 5^2$ [/mm] gelten, dass [mm] $b=2^2\cdot 5^2$ [/mm] ist. Das heisst: die Primfaktorzerlegung von $b$ muss, neben den Primfaktoren, die im ggT enthalten sind, genau diejenigen Primfaktoren des kgV enthalten, die in der Primfaktorzerlegung von a nicht enthalten sind.
Man könnte also auch [mm] $a=2^2\cdot [/mm] 5$ wählen. In diesem Falle müsste [mm] $b=2\cdot 5^2$ [/mm] sein.
Eine weitere Möglichkeit wäre [mm] $a=2\cdot 5^2$: [/mm] in diesem Falle müsste [mm] $b=2^2\cdot [/mm] 5$ sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 04.06.2008 | | Autor: | ninime |
Ok das habe ich verstanden also gilt:
ggT(a,b) = d und kgV(a,b) = m
für d=10 und m=100 gilt:
ggT(10,100)=10, kgV(10,100)=100
ggT(100,10)=10, kgV(100,10)=100
ggT(20,50) = 10, kgV(20,50) =100
ggT(50,20) = 10, kgV(50,20) =100
aber das müssten jetzt alle Möglichkeiten sein oder?
Habe ich die ganze Aufgabe denn jetzt damit gelöst oder muss ich das für den ersten Teil noch allgemein ausdrücken?
Dann weiß ich allerdings nicht wie ich a,b,d und m definieren könnte.
Danke schonmal.
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> Ok das habe ich verstanden also gilt:
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> ggT(a,b) = d und kgV(a,b) = m
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> für d=10 und m=100 gilt:
>
> ggT(10,100)=10, kgV(10,100)=100
> ggT(100,10)=10, kgV(100,10)=100
> ggT(20,50) = 10, kgV(20,50) =100
> ggT(50,20) = 10, kgV(50,20) =100
>
> aber das müssten jetzt alle Möglichkeiten sein oder?
> Habe ich die ganze Aufgabe denn jetzt damit gelöst oder
> muss ich das für den ersten Teil noch allgemein ausdrücken?
> Dann weiß ich allerdings nicht wie ich a,b,d und m
> definieren könnte.
Schau nochmals den Aufgabentext genau an: Du musst primär einen Beweis führen. Die Wahl von ggT=10 und kgV=100 sollte mehr ein einfaches illustrierendes Beispiel sein.
Es sind also zwei Teilbeweise zu führen: einen für jede Richtung der zu beweisenden Äquivalenz (<=>) von Aussagen.
Für die Richtung =>: Ist $d=ggT(a,b)$ und $m=kgV(a,b)$, dann musst Du erklären, weshalb in jedem Falle $d$ ein Teiler von $m$ ist.
Für die Richtung <=: Ist $d$ ein Teiler von $m$, so musst Du zeigen, dass es Zahlen $a$ und $b$ gibt, so dass ggT(a,b)=d und kgV(a,b)=m ist.
Nachdem Du das konkrete Beispiel mit d=10 und m=100 nachvollzogen hast, fällt es Dir vielleicht leichter, diese beiden Teilbeweise der zu beweisenden Gesamtbehauptung auszuformulieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 04.06.2008 | | Autor: | ninime |
sorry aber ich habs immer noch nicht ganz.
für
ggT(a,b)= d , kgV(a,b)=m
kann ja
[mm] a=d\*k_1
[/mm]
[mm] a=k_2/m
[/mm]
und
[mm] b=d\*k_2
[/mm]
[mm] b=k_1/m
[/mm]
definieren, wobei k immer der Restfaktor ist.
Aber bringt mich das jetzt weiter?
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> sorry aber ich habs immer noch nicht ganz.
> für
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> ggT(a,b)= d , kgV(a,b)=m
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> kann ja
> [mm]a=d\*k_1[/mm]
> [mm]a=k_2/m[/mm]
> und
> [mm]b=d\*k_2[/mm]
> [mm]b=k_1/m[/mm]
>
> definieren, wobei k immer der Restfaktor ist.
> Aber bringt mich das jetzt weiter?
Bringt Dich weiter auf dem Weg zu welchem Ziel?
Wenn es um dem Beweis der => Richtung geht: ist ggT(a,b)=d und kgV(a,b)=m, dann teilt d doch a und a teilt m, also wegen der Transitivität der "x teilt y"-Beziehung folgt auch d teilt m.
Für die <= Richtung: Gilt d teilt m, dann kann man einfach a=d und b=m setzen. Dann ist ggT(a,b)=d und kgV(a,b)=m (dies müsste man vielleicht noch etwas genauer begründen).
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