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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei V ein n dimensionaler [mm] \IK [/mm] Vektorraum, [mm] \phi [/mm] : V->V
Dann sind äquivalent:
1) [mm] \phi [/mm] ist nilpotent
2) [mm] \exists [/mm] Teilräume [mm] \{0\} [/mm] = [mm] V_0 \subseteq V_1 \subseteq..\subseteq V_r [/mm] =V sodass [mm] \phi(V_i [/mm] ) [mm] \subset V_{i-1} [/mm] |
1->2
Eine Teilraumfolge wie in 2 ist durch
[mm] \{0\} [/mm] = [mm] ker(\phi^0) \subset ker(\phi)...\subset ker(\phi^r) [/mm] =V gegeben.
So eine Teilraumfolge hatten wir, aber wieso gilt nun die "strenge Inklusion" und [mm] \ker(\phi^r) [/mm] = V ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein n dimensionaler [mm]\IK[/mm] Vektorraum, [mm]\phi[/mm] : V->V
> Dann sind äquivalent:
> 1) [mm]\phi[/mm] ist nilpotent
> 2) [mm]\exists[/mm] Teilräume [mm]\{0\}[/mm] = [mm]V_0 \subseteq V_1 \subseteq..\subseteq V_r[/mm]
> =V sodass [mm]\phi(V_i[/mm] ) [mm]\subset V_{i-1}[/mm]
>
> 1->2
> Eine Teilraumfolge wie in 2 ist durch
> [mm]\{0\}[/mm] = [mm]ker(\phi^0) \subset ker(\phi)...\subset ker(\phi^r)[/mm]
> =V gegeben.
>
> So eine Teilraumfolge hatten wir, aber wieso gilt nun die
> "strenge Inklusion" und [mm]\ker(\phi^r)[/mm] = V ?
Wir können von [mm] \phi \ne [/mm] 0 ausgehen.
Obiges r ist der Nilpotenzindex von [mm] \phi, [/mm] d.h.: es ist [mm] \phi^r=0, [/mm] aber [mm] \phi^{r-1} \ne [/mm] 0.
Wegen [mm] \phi^r=0 [/mm] ist [mm] \phi^r(x)=0 [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V. Damit ist [mm]\ker(\phi^r)[/mm] = V .
Jetzt nimm mal an, für ein s<r wäre [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{s+1})
[/mm]
Dann folgt (sowas hattest Du schon mal): [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{s+k}) [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] 0.
Dann wäre aber auch: [mm] kern(\phi^s)=kern(\phi^{r})=V [/mm] , also [mm] \phi^s=0.
[/mm]
Somit würde der Widerspruch [mm] \phi^{r-1} [/mm] folgen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Di 18.09.2012 | | Autor: | sissile |
danke,ist nun klar.
Liebe Grüße
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