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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - ker(a)=ker(a^t)
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ker(a)=ker(a^t): Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mi 20.05.2009
Autor: JackLondon

Aufgabe
Es sei A [mm] \in M_{n,n} (\IC) [/mm] eine Matrix die [mm] \overline{A}^{t}A=A \overline{A}^{t} [/mm] erfüllt.

Zeigen Sie, dass [mm] ker(A)=ker(\overline{A}^{t}) [/mm]

Hallo

zu der aufgabe fällt mir nur ein, dass ich ja [mm] (\overline{Av}^{t})(Av) [/mm] mainpulieren könnte...nur weiß ich nicht so ganz wie ich das machen soll.

das überm A soll ne "schlange" und ein t sein...nur damit es keine verwirrungen gibt^^

danke

        
Bezug
ker(a)=ker(a^t): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mi 20.05.2009
Autor: fred97


> Es sei A [mm]\in M_{n,n} (\IC)[/mm] eine Matrix die
> [mm]\overline{A}^{t}A=A \overline{A}^{t}[/mm] erfüllt.
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]ker(A)=ker(\overline{A}^{t})[/mm]
>  Hallo
>  
> zu der aufgabe fällt mir nur ein, dass ich ja
> [mm](\overline{Av}^{t})(Av)[/mm] mainpulieren könnte...nur weiß ich
> nicht so ganz wie ich das machen soll.
>  
> das überm A soll ne "schlange" und ein t sein...nur damit
> es keine verwirrungen gibt^^
>  
> danke


Ich bezeichne mal  [mm] \overline{A}^{t} [/mm] mit A*, die euklidische Norm auf [mm] \IC^{n \times n} [/mm] mit $||*||$ und mit $<*,*>$ das Skalarprodukt.


Dann gilt für jedes x [mm] \in \IC^n: [/mm]

         [mm] ||Ax||^2 [/mm] = <Ax,Ax> = <A*Ax,x> = <AA*x,x> = <A*x,A*x> = ||A*x||²

Daraus folgt insbesondere das, was Du zeigen sollst.

FRED

Bezug
                
Bezug
ker(a)=ker(a^t): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Mi 20.05.2009
Autor: JackLondon

Wir sollen dass aber ohne skalarprodukt zeigen, durch manipulation des ausdrucks oben

Bezug
                
Bezug
ker(a)=ker(a^t): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 20.05.2009
Autor: JackLondon

[mm] (\overline{Av})^{t} [/mm] Av

= [mm] v^{t} \overline{A}^{t} [/mm] Av

= [mm] v^{t} [/mm] A [mm] \overline{A}^{t}v [/mm] (nach voraussetzung)

aber ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich da weitermachen soll/ was mir das bringt



Bezug
                        
Bezug
ker(a)=ker(a^t): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Do 21.05.2009
Autor: angela.h.b.


> [mm](\overline{Av})^{t}[/mm] Av
>  
> = [mm]v^{t} \overline{A}^{t}[/mm] Av
>  
> = [mm]v^{t}[/mm] A [mm]\overline{A}^{t}v[/mm] (nach voraussetzung)
>  
> aber ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich da weitermachen
> soll/ was mir das bringt
>  
>  

Hallo,

wenn Du das nicht mit Freds Skalarproduktklammern lösen möchtest, kannst Du es etwas haus(ge)backener auch so tun:

Überlege Dir erstmal für [mm] v\in \IC^n, [/mm] was [mm] \overline{v}^{T}v [/mm] ergibt, und was Du schließen kannst, wenn Du [mm] \overline{v}^{T}v=0 [/mm] erhältst.

(Das hatten wir doch grad vor ein paar Tagen, nech?)

Danach geht's richtig los.

Sei [mm] x\in [/mm] Kern A.

Dann ist

[mm] 0=\overline{(Ax)}^{T}(Ax) [/mm]

[mm] =\overline{x}^{T} \overline{A}^{T}Ax [/mm]

= ...

[mm] =\overline{(\overline{A}^{T}x)}^{T}(\overline{A}^{T}x), [/mm]

also ...

Gruß v. Angela

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ker(a)=ker(a^t): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Mo 25.05.2009
Autor: HansPeter

okay okay das war ja recht einfach aber wie kann ich denn daraus folgern, dass

der Eigenvektor v zum Eigenwert  von A ebenfalls ein Eigenvektor zum
Eigenwert [mm] \overline{\lambda} [/mm] von [mm] \overline{A}^{t}ist?? [/mm]

Bezug
                                        
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ker(a)=ker(a^t): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mo 25.05.2009
Autor: angela.h.b.


> okay okay das war ja recht einfach aber wie kann ich denn
> daraus folgern, dass
>  
> der Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A ebenfalls ein
> Eigenvektor zum
>  Eigenwert [mm]\overline{\lambda}[/mm] von [mm]\overline{A}^{t}ist??[/mm]  

Hallo,

hast Du schon drüber nachgedacht?

Wenn v ein Eigenvektor von A zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, dann ist [mm] Av=\lambda [/mm] v <==> [mm] (A-\lambda [/mm] E)v=0.

Und nun???

Gruß v. Angela


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ker(a)=ker(a^t): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Mo 25.05.2009
Autor: HansPeter

ja analog kann man das ja für den komplexen wert machen und man weiß auch dass die kerne gleich sind? aber wie muss ich das denn jetzt zusammensetzen?

Bezug
                                                        
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ker(a)=ker(a^t): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mo 25.05.2009
Autor: angela.h.b.


> ja analog kann man das ja für den komplexen wert machen und
> man weiß auch dass die kerne gleich sind? aber wie muss ich
> das denn jetzt zusammensetzen?

Hallo,

aus dem, was ich geschreiben habe, liest Du ab, daß [mm] v\in Kern(A-\lambda [/mm] E) .

In welchem Kern ist v dann folglich auch?

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                
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ker(a)=ker(a^t): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Mo 25.05.2009
Autor: HansPeter

du meinst im kern von [mm] (A-\lambda*Id) [/mm] oder?

Bezug
                                                                        
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ker(a)=ker(a^t): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Mo 25.05.2009
Autor: angela.h.b.


> du meinst im kern von [mm](A-\lambda*Id)[/mm] oder?  

Ja, klar.

Gruß v. Angela


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