keine konv. teilfolge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 02.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, ich betrachte die Folge [mm] $(e_n)$, [/mm] wobei [mm] $e_n\in\ell_2$ [/mm] mit
[mm] $(e_n)_j=\begin{cases}1, & j=n\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Es gilt ja [mm] $\Vert e_n-e_m\lVert_2=\sqrt{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\neq [/mm] m$.
Meine (wahrscheinlich total simple) Frage ist:
Wieso enthält [mm] $(e_n)$ [/mm] keine konvergente Teilfolge? |
Meine Idee ist:
Gäb es eine konvergente Teilfolge, etwa [mm] $(e_1,e_3,e_5,...)$, [/mm] so wäre das ja auch eine Cauchyfolge.
Aber es gilt ja [mm] $\lVert e_n-e_m\rVert_2=\sqrt{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\neq [/mm] m$ und deswegen gilt eben nicht, dass es für [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ beliebig ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] gibt, sodass [mm] $\lVert e_n-e_m\rVert_2<\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n,m\geq [/mm] N$.
Es ist ja immer konstant [mm] $\sqrt{2}$. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 02.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich betrachte die Folge [mm](e_n)[/mm], wobei [mm]e_n\in\ell_2[/mm]
> mit
>
> [mm](e_n)_j=\begin{cases}1, & j=n\\0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm].
>
> Es gilt ja [mm]\Vert e_n-e_m\lVert_2=\sqrt{2}[/mm] für alle [mm]n\neq m[/mm].
>
>
>
> Meine (wahrscheinlich total simple) Frage ist:
>
> Wieso enthält [mm](e_n)[/mm] keine konvergente Teilfolge?
>
> Meine Idee ist:
>
> Gäb es eine konvergente Teilfolge, etwa [mm](e_1,e_3,e_5,...)[/mm],
> so wäre das ja auch eine Cauchyfolge.
>
> Aber es gilt ja [mm]\lVert e_n-e_m\rVert_2=\sqrt{2}[/mm] für alle
> [mm]n\neq m[/mm] und deswegen gilt eben nicht, dass es für
> [mm]\varepsilon >0[/mm] beliebig ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] gibt, sodass
> [mm]\lVert e_n-e_m\rVert_2<\varepsilon[/mm] für [mm]n,m\geq N[/mm].
>
> Es ist ja immer konstant [mm]\sqrt{2}[/mm].
Ja, so kannst Du argumentieren.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 02.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Cool, danke Dir.
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