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| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung
[mm] \phi: \IR{3} \mapsto \IR{3}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \mapsto \vektor{x_{2} + x_{3} \\ 2*x_{1} + x_{3} \\ 3*x_{1}- x_{2} + x_{3}}
[/mm]
Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis im [mm] \IR{3} [/mm] und den Kern dieser Abbildung |
Lösung:
Das Bild der Basisvektoren [mm] {e_{1},..,e_{3}} \subset \IR{3} [/mm] sind:
[mm] \phi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 3}; \phi \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}; \phi \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Die Abbildungsmatrix ist:
[mm] A\phi [/mm] : [mm] (\phi(e_{1}),...,\phi(e_{5})) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 }
[/mm]
Bestimmung des Kerns:
0 1 1 | 0 | Z.1 mit Z.3 vertauscht
2 0 1 | 0
3 -1 1 |0
3 -1 1 | 0
2 0 1 | 0 | *3 | 2.Z minus (2*)3.Z
0 1 1 | 0
3 -1 1 | 0
2 0 1 | 0
0 1 1 |0 | *2 | 3.Z minus 2 Z.
3 -1 1 | 0
0 2 1 | 0
0 0 1 | 0
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] * [mm] x_{1} [/mm] = 0; [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_{2} [/mm] = 0; [mm] \lambda [/mm] * [mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Die drei Vektoren sind linear unabhängig
Kern [mm] (\phi) [/mm] : t * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das so korrekt aufgeschireben ist, ich hoffe mir kann jmd helfen!
Liebe Grüße!!
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> Gegeben sei die lineare Abbildung
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> [mm]\phi: \IR{3} \mapsto \IR{3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \mapsto \vektor{x_{2} + x_{3} \\ 2*x_{1} + x_{3} \\ 3*x_{1}- x_{2} + x_{3}}[/mm]
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> Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix bzgl. der
> kanonischen Basis im [mm]\IR{3}[/mm] und den Kern dieser Abbildung
> Lösung:
>
> Das Bild der Basisvektoren [mm]{e_{1},..,e_{3}} \subset \IR{3}[/mm]
> sind:
>
>
> [mm]\phi \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 3}; \phi \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}; \phi \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
> Die Abbildungsmatrix ist:
>
>
> [mm]A\phi[/mm] : [mm](\phi(e_{1}),...,\phi(e_{5}))[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 }[/mm]
Hallo,
alles richtig bis hierher!
>
>
> Bestimmung des Kerns:
>
> 0 1 1 | 0 | Z.1 mit Z.3 vertauscht
> 2 0 1 | 0
> 3 -1 1 |0
>
>
> 3 -1 1 | 0
> 2 0 1 | 0 | *3 | 2.Z minus (2*)3.Z
> 0 1 1 | 0
>
> 3 -1 1 | 0
> 2 0 1 | 0
> 0 1 1 |0 | *2 | 3.Z minus 2 Z.
>
> 3 -1 1 | 0
> 0 2 1 | 0
> 0 0 1 | 0
>
Hieraus folgt [mm] x_3=0, x_2=0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] =0
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die drei Vektoren sind linear unabhängig
Genau.
> [mm] Kern\phi [/mm] = [mm] \{t *\vektor{0 \\ 0 \\ 0}|t \in \IR\}
[/mm]
Elegant und verständlich: Kern [mm] \phi=\{\vektor{0\\0\\0}\}
[/mm]
> Ich bin mir nicht sicher, ob das so korrekt aufgeschireben
> ist, ich hoffe mir kann jmd helfen!
Es war alles schon ziemlich gut.
Gruß v. Angela
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