j-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:23 Do 16.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | Theorem: Die j-Funktion definiert eine bijektive Abbildung
[mm] \hat{j}:H/\Gamma\to \IC.
[/mm]
Beweis:
[Surjektivität klar]
Injektivität:
Sei b [mm] \in \IC. [/mm] Wir müssen zeigen, dass f(z)=j(z)-b genau eine Nullstelle modulo [mm] \Gamma [/mm] in H hat. Wir wissen: ord(f; [mm] i\infty)=-1. [/mm] Die Behauptung folgt hieraus und aus der k/12-Formel.
H soll obere Halbebene bedeuten
[Zur k/12-Formel: f ist eine von der Nullfunktion verschiedene meromorphe Modulform vom Gewicht k. Dann gilt:
[mm] \summe_{a}^{}\bruch{1}{e(a)}ord(f;a) [/mm] + [mm] ord(f;i\infty)=\bruch{k}{12}
[/mm]
Hierbei durchlaufe a Repräsentantensystem modulo [mm] \Gamma [/mm] aller Pole und Nullstellen von f und es sei
e(a)= [mm] \bruch{1}{2}#\Gamma_a [/mm] |
Hi! Ich habe hierzu eine Frage, wie man die k/12 Formel auf die j-Funktion anwenden kann. k=12 scheint dann zu gelten. Dann müsste man also zeigen, dass die Summe [mm] \summe_{a}^{}\bruch{1}{e(a)}ord(f;a) [/mm] =2.
Nun komm ich aber nicht so recht weiter. Ich weiß, e(a) ist abhängig davon, ob a= i oder a= "untere rechte Ecke des Fundamentalbereichs" oder a sonst (natürlich jeweils mit modulo). e(a) ist dann 2,3 oder 1.
Als Nullstelle der j-Funktion erhalte ich "die rechte untere Ecke" (Also e(a)=3). Die Ordnung ist doch hier aber nur 3, oder? Dann käme ich ja nur auf 1. Und die Eisensteinreihen [mm] G_4 [/mm] (die das Nullstellenverhalten der j-Funktion bestimmt) haben doch nur diese Nullstelle, oder?
Ich glaube, es ist nicht so schwer... Aber bei mir hängts grad
Wäre gut, wenn mir jemand helfen könnte
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Fr 17.04.2009 | | Autor: | didi1985 |
Ah! Jetzt hab ichs! Die j-Funktion ist ja eine Modulform vom Gewicht O und daher passt alles...
|
|
|
|
