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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:28 Di 02.12.2008 | | Autor: | musikfreak |
Ich habe folgende iterierte Abb:
[mm] x_{t+1}=f(x_{t}):=(5x_{t})mod1
[/mm]
Ich soll dazu den Ljapunovexponenten [mm] \lamda [/mm] berechnen:
[mm] \lambda=1/t \limes_{\varepsilon\rightarrow 0}(ln |\bruch{f^{t}(x_{0}+\varepsilon)-f^{t}(x_{0})}{\varepsilon}|)=\limes_{t\rightarrow \infinity}1/t\summe_{i=0}^{t-1}ln|f'(x_{i}]|
[/mm]
[mm] f^{t} [/mm] heisst f t-fach iteriert.
Ich komme im Moment gar nicht weiter, weil ich diese Abbildung überhaupt nicht verstehe. Bedeutet [mm] f(x_{t}) [/mm] das gleiche wie [mm] f^{t}?
[/mm]
Wen ich den Term mit mod weglasse, ist ja da eine Funktion die ein Glied [mm] x_{t} [/mm] auf ihr Folgeglied [mm] x_{t+1} [/mm] abbildet. Und dann ist dieses [mm] x_{t+1}=(5x_{t})mod1
[/mm]
mod1 bedeutet doch dass eine Zahl (y)mod1=(y/n) - n mache. (n ganze Zahl)... Bin mir da aber gar nich sicher.
Dann noch ne Frage wie soll ich dann ableiten [mm] f'(x_{i})? [/mm]
Danke für tipps
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit Physik hat die Frage doch wohl nichts zu tun?
wieso landet sie hiewr, wo du sicher keine experten findest
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> Ich habe folgende iterierte Abb:
> [mm]x_{t+1}=f(x_{t}):=(5x_{t})mod1[/mm]
Falls Dich das $t$ stört, dann schreibe die Definition doch als
[mm] $x_{n+1}=f(x_n):=(5x_n)\mod 1\quad\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
Falls [mm] $x_0$ [/mm] ganzzahlig ist, so gilt überings [mm] $(5x_n)\mod [/mm] 1 = [mm] 5x_n$ [/mm] und die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] ist besteht nur aus ganzen Zahlen. Andernfalls kann man [mm] $\mod [/mm] 1$ nicht einfach fortlassen. Dazu siehe auch
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Modulo_(Rest)
Daraus erhälst Du überings die Beziehung:
[mm] $x_1=f(x_0)$
[/mm]
[mm] $x_2=f(x_1)=f(f(x_0))=f^2(x_0)$
[/mm]
[mm] $x_3=f(x_2)=f(f(f(x_0)))=f^3(x_0)$
[/mm]
[mm] $x_{n+1}=f(x_n)=f^{n+1}(x_0)\quad\quad\forall\,n\in\IN$
[/mm]
> Ich soll dazu den Ljapunovexponenten [mm]\lamda[/mm] berechnen:
> [mm]\lambda=1/t \limes_{\varepsilon\rightarrow 0}(ln |\bruch{f^{t}(x_{0}+\varepsilon)-f^{t}(x_{0})}{\varepsilon}|)=\limes_{t\rightarrow \infinity}1/t\summe_{i=0}^{t-1}ln|f'(x_{i}]|[/mm]
>
Dazu siehe Dir zunächst einmal die folgenden Links an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lyapunov-Exponent
http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/e10_05.html
(Achtung ist ein Schreibfehler: in der vorletzten Zeile muss [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ stehen)
Dort erfährst Du auch, wozu man diesen speziellen Exponenten benötigt, nämlich zur Überprüfung der Stabilität nichtlinearer numerischer Verfahren. Du musst in meiner Notation also
[mm] $\lambda(x_0)=\lim_{n\to\infty}\ln\left|\frac{df^n}{dx}(x_0)\right|=\lim_{n\to\infty}\log\left|\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f^n(x_0+\varepsilon)-f^n(x_0)}{\varepsilon}\right|$
[/mm]
berechnen. Du benötigst demnach die Terme [mm] $f^n(x_0+\varepsilon)$ [/mm] und
[mm] $f^n(x_0)$. [/mm] Die kannst Du mit Deiner Definition von $f$ bestimmen:
[mm] $f^{n}(x_0)=f(x_{n-1})=x_n=5x_{n-1}\mod [/mm] 1$
[mm] $f^{n}(x_0+\varepsilon)=f(x_{n-1}+\varepsilon)=5(x_{n-1}+\varepsilon)\mod [/mm] 1$
Nun musst Du schauen, ob Dir das ganze weiterhilft, denn bisher war das ganze nur eine Idee von mir.
> [mm]f^{t}[/mm] heisst f t-fach iteriert.
> Ich komme im Moment gar nicht weiter, weil ich diese
> Abbildung überhaupt nicht verstehe. Bedeutet [mm]f(x_{t})[/mm] das
> gleiche wie [mm]f^{t}?[/mm]
Nein. Es ist (wie oben beschrieben)
[mm] $f(x_n)=f^{n+1}(x_0)\neq f^n(x_0)\quad\forall\,n\in\IN_0$
[/mm]
aber es ist [mm] $f(x_n)=f(x_0)\cdot f^n(x_0)$ [/mm] für [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
> Wen ich den Term mit mod weglasse, ist ja da eine Funktion
> die ein Glied [mm]x_{t}[/mm] auf ihr Folgeglied [mm]x_{t+1}[/mm] abbildet.
> Und dann ist dieses [mm]x_{t+1}=(5x_{t})mod1[/mm]
> mod1 bedeutet doch dass eine Zahl (y)mod1=(y/n) - n mache.
> (n ganze Zahl)... Bin mir da aber gar nich sicher.
Siehe Dir dazu die zuerst genannte Seite an.
> Dann noch ne Frage wie soll ich dann ableiten [mm]f'(x_{i})?[/mm]
Indem Du den Differenzenquotienten verwendest und den Limes ausrechnest, d.h.
[mm] $\frac{df^n}{dx}(x_0)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f^n(x_0+\varepsilon)-f^n(x_0)}{\varepsilon}$
[/mm]
> Danke für tipps
> LG
Ich hoffe, dass Dir das erst einmal hilft.
Gruß
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