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| Aufgabe | | es gibt 2 körper ({0,1},+,*), ({a,b},+,*). zu zeigen ist, dass diese isomorph zueinander sind. |
mein problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich die abbildung aufschreiben soll. bis jetzt siehts so aus:
+: (0,1)-->(a,b) , (0,1)==>(a+b)
*: (0,1)-->(a,b) , (0,1)==>(a*b)
jetzt muss ich ja zum einen zeigen,dass die bijektiv sind. wie gehe ich da vor? wäre dankbar für ein paar tipps.
und zum anderen muss ja noch der homomorphismus gezeigt werden:
f(0+1)=f(0)+f(1)
f(0*1)=f(0)*f(1)
hoffentlich kann mir wer helfen.
danke schon mal im voraus
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 26.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo grafzahl123,
ich glaube, dass da ein Missverständnis vorliegt. Bei dem 2. Körper mit der Menge {a,b} muss ja aufgrund der Körperaxiome auch eines das neutrale Element der Addition (nehmen wir an es ist a und schreiben [mm] a_{0} [/mm] dafür) und eines das der Multiplikation sein (nehmen wir an es ist b und schreiben [mm] b_{1} [/mm] dafür; die Körpergesetze verbieten es übrigens, dass beide Element gleich sind).
Dann liegt die Definition des zukünftigen Isomorphismus sehr nahe, nämlich
i: {0, 1} [mm] \to [/mm] { [mm] a_{0}, b_{1} [/mm] } mit
0 [mm] \mapsto a_{0} [/mm] und
1 [mm] \mapsto b_{1}
[/mm]
Die umgekehrte Möglichkeit verbietet sich, da bei einem Körper durch einen Homomorphismus immer das neutrale Element der Addition auf das neutrale Element der Addition abgebildet wird.
Das Zeigen der Homomorphieeigenschaft und der Bijektivität von i dürfte jetzt kein Problem mehr sein.
Gruß
Uli
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