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Gruß!
Das Fünfer-Lemma ist ein ziemlich simpler Diagrammjagd-Beweis... ich zeige mal die Injektivität (mit der Notation des Links), die Surjektivität überlasse ich Dir. Das ist nur, damit Du den Stil siehst.
Also, seien $c, c' [mm] \in C_1$ [/mm] mit [mm] $\gamma(c) [/mm] = [mm] \gamma(c')$. [/mm] Du mußt zeigen: es gilt $c = c'$ bzw. $c - c' = 0$.
Betrachten wir das Bild von $c - c'$ unter [mm] $\gamma$, [/mm] so ist es 0, also auch das Bild in [mm] $D_2$ [/mm] (von [mm] $C_2$ [/mm] aus gesehen) und auch das Urbild unter dem Isomorphismus [mm] $\elta$ [/mm] in [mm] $D_1$. [/mm] Also geht $c - c'$ in [mm] $D_1$ [/mm] auf 0 und wegen der Exaktheit gibt es also ein $b [mm] \in B_1$, [/mm] das auf $c- c'$ abgebildet wird.
Wenn ich mir jetzt [mm] $\beta(b) \in B_2$ [/mm] ansehe, dann weiß ich, dass [mm] $\beta(b)$ [/mm] nach Abbildung nach [mm] $C_1$ [/mm] wieder wegen der Kommutativität gleich 0 ist, also liegt [mm] $\beta(b)$ [/mm] im Kern der Abbildung von [mm] $B_2$ [/mm] nach [mm] $C_2$ [/mm] und wieder wegen der Exaktheit gibt es demnach also ein $a' [mm] \in A_2$, [/mm] das auf [mm] $\beta(b)$ [/mm] abgebildet wird.
Sei $a := [mm] \alpha^{-1}(a') \in A_1$. [/mm] Da [mm] $\alpha$ [/mm] ein Isomorphismus ist, ist das eindeutig bestimmt. Das Bild von $a$ in [mm] $B_1$ [/mm] muß aufgrund der Kommutativität gleich $b$ sein - also liegt $b$ im Bild der Abbildung von [mm] $A_1$ [/mm] nach [mm] $B_1$, [/mm] der wegen der Exaktheit gleich dem Kern der Abbildung von [mm] $B_1$ [/mm] nach [mm] $C_1$ [/mm] ist - und damit ist das Bild von $b$ in [mm] $C_1$ [/mm] gleich 0 - aber das war gerade $c - c'$ und das zeigt die Behauptung.
Naja und die Surjektivität geht im Prinzip genauso, da braucht man [mm] $\alpha$ [/mm] nicht, aber dafür [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Alles klar? 
Lars
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