isolierte,innere Punkte und Randpunkte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:49 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Ich habe da eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weiß ob dass so richtig ist wie ich sie gelöst habe bzw. ich bin mir nicht sicher ob das genügt was ich dazu geschrieben habe. Vielleicht könntet ihr mir dabei helfen? Also hier ist die Aufgabenstellung und meine Lösungen/Ansätze:
Es sei [mm]n \in \IN[/mm] und [mm](V,||*||)[/mm]=[mm](\IR^n,||*||)[/mm] mit der euklidischen Norm [mm]||*||[/mm] des [mm]\IR^n[/mm]. Bestimmen sie für die folgenden Mengen [mm]M_a,....M_d[/mm] jeweils alle isolierten Punkte, inneren Punkte und Randpunkte.
a) [mm]M_a := [/mm]{}
b) [mm]M_b := \IR^n[/mm] \ [mm]\IQ^n[/mm]
c) [mm]M_c := K_r (x)[/mm] für[mm] r>0 und x \in \IR^n[/mm]
d) [mm]M_d := \cap_{k\in\IN}C^{(k)} mit C^{(1)} := [0,1], C^{(2)} := [0,\bruch{1}{3}] \cup [\bruch{2}{3},1], C^{(k+1)} = C^{(k)} \ \cup _{l=1}^{3k-1}(3^{-k-1}(3l+1), 3^{-k-1}(3l+2))[/mm] für alle k>2 und n=1.
Hinweis: Für alle k und alle l zwischen 1 und [mm]3^{k-1}[/mm] liegen die beiden Punkte [mm]3^{-k-1}(3l+1) und 3^{-k-1}(3l+2)[/mm] in der Cantor MEnge [mm]M_e[/mm] (nach Georg Cantor (1845-1918)).
Zu a)
[mm]M_a[/mm] besitzt keine inneren Punkte, da [mm]M_a[/mm] keine Umgebung von [mm]x\in\IR^n[/mm] ist
[mm]M_a[/mm] besitzt auch keine isolierten Punkte, da [mm]M_a[/mm] keine Elemente besitzt, d.h. [mm]M_a=\emptyset [/mm]
[mm]M_a[/mm] besitzt auch keine Randpunkte, da man keine Umgebung von [mm]x\in\IR^n[/mm] finden kann, in der ein Punkt von [mm] V\M [/mm] liegt und auch ein Punkt von [mm]x\in\IR^n[/mm] ist.
Zu b)
[mm]M_b := \IR^n[/mm] \ [mm]\IQ^n=\IZ^n[/mm]
keine inneren Punkte, da [mm]M[/mm] keine Umgebung von[mm]x\in\IR^n[/mm] ist
[mm]M_b[/mm] besitzt keine HP, da nicht für jedes r>0
[mm]M\cap(K_r(x) \ {k}) \ne \emptyset [/mm] gilt mit
keine Randpunkte, da für ein [mm]x\in\IR^n[/mm] keine Umgebung zu finden ist, in der ein Punkt von M und ein Punkt von [mm] V\M [/mm] liegt.
Zu c)
[mm]x\in\IR^n[/mm] ist ein innerer Punkt von [mm]M_c[/mm], da [mm]M_c[/mm] eine Umgebung von x ist, d.h. für ein [mm]r_1>0[/mm] gilt [mm]K_r_1(x)\setminus M_c = K_r(x)[/mm]
[mm]x\in\IR^n[/mm] sind auch HP von M, da für jedes s>0 gilt [mm]M_c\cap (K_s(x) \ {x}) \ne \emptyset[/mm], somit besitzt [mm]M_c[/mm] keine isolierten Punkte
[mm]M_c[/mm] besitzt keine Randpunkte, da für [mm]x\in\IR^n[/mm] nicht in jeder Umgebung von x ein Punkt von [mm]M_c[/mm] und ein Punkt von V/[mm]M_c[/mm] liegt, d.h. wenn der Radius s der Umgebung von x kleiner r ist (s<r). In diesem Fall gilt nämlich [mm]K_s(x)\setminus K_r(x)[/mm].
Zu d)
Da steh ich auf dem Schlauch.
Danke schon im voraus!
Bis denne
Jessica
(Christa: ICh hoffe, ich hab' mich nirgendswo vertippt, andernfalls schon mal im voraus: Entschuldigung!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Do 03.06.2004 | | Autor: | andreas |
hi Jessica
mal ein paar anmerkungen:
a) ist denke ich soweit richtig gelöst.
b) [m] \mathbb{R}^n \setminus \mathbb{Q}^n \ne \mathbb{Z}^n [/m]. beshränkt man sich z.b. auf den 1-dimensionalen fall (also n=1), so ist [m] \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} [/m] die menge der irrationalen zahlen. diese menge besitzt sehr wohl häufungspunkte nämlich ganz [m] \mathbb{R} [/m], denn in jeder umgebung einer reelen zahl liegt eine irrationale zahl. auch die menge der randpunkte ist in diesem fall ganz [m] \mathbb{R} [/m].
c) wie ist den [m] K_r(x) [/m] definiert? etwa so [m] K_r(x) = \{ y \in \mathbb{R}^n: \| x - y \| < r \} [/m] ? dann wäre die mege der inneren punkt ganz [m] K_r(x) [/m], da man zu jedem [m] z \in K_r(x) [/m] eine umgebung [m] K_{\tilde{r}}(z) \subset K_r(x) [/m] finden würde, z.b. mit [m] \tilde{r} := r - \|x-y\| [/m].
d) bei deiner definition der cantor-menge fehlt ein [mm] \setminus. [/mm] noch ein tipp dazu: die menge besitzt keine inneren punkte, aber jeder punkt der menge ist häufungspunkt!
vielleicht hilft das ja ein bisschen weiter.
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 03.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich habe auch über der Aufgabe gebrütet, ich weiss nicht, inwieweit das, was ich hier hab, eine Lösung sein könnte...
Zu d)
Cantorstaub
Die Schnittvorschrift entfernt für [mm] $C^{(k+1)}$ [/mm] jeweils das mittlere Drittel aller Intervalle aus [mm] $C^{(k)}$, [/mm] d.h., dass, wenn man mit [mm] $|C^{(k)}|$ [/mm] die Gesamtlänge der vorhandenen Intervalle bezeichnet, gilt [mm] $|C^{(k+1)}|=\bruch{2}{3}*|C^{(k)}|$.
[/mm]
Seien nun [mm] $(|C^{(k)}|)_{k\in\IN}$ [/mm] die Folge über die Intervallängen mit [mm] $|C^{(1)}|=1$ [/mm] und [mm] $(R_{k})_{k\in\IN}$ [/mm] die Folge der Menge der entstehenden Randpunkte mit [mm] $R_{1}=2$, [/mm] dann ist
[mm] $\limes_{k \to \infty}{|C^{(k)}|}=\limes_{k \to \infty}{(\bruch{2}{3}^{k-1}*|C^{(1)}|)}=0$ [/mm] und
[mm] $\limes_{k \to \infty}{R_{k}}=\limes_{k \to \infty}{2^{k-1}*R_{1}}=\infty$,
[/mm]
also ist die Anzahl der Randpunkte unbegrenzt und die Intervallängen gehen gegen 0, also sind nur noch Randpunkte vorhanden.
Beweis alle $x [mm] \in C=\limes_{k \to \infty}{C^{(k)}}$ [/mm] sind Randpunkte (und damit keine inneren Punkte):
Für alle $r>0$ existiert ein [mm] $0<\epsilon
Nach der Schnittvorschrift sind aber alle $s [mm] \in (x-\bruch{2}{3}*\epsilon;x-\bruch{1}{3}*\epsilon)$ [/mm] oder [mm] $(x+\bruch{1}{3}*\epsilon;x+\bruch{2}{3}*\epsilon)$ [/mm] nicht in C enthalten.
Also enthält jedes [mm] $U_{r}(x)$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] C$, $r>0$ Elemente aus $C$ und [mm] $\IR \setminus [/mm] C$ und somit ist jedes $x$ Randpunkt und kein innerer Punkt von $C$.
Beweis alle $x [mm] \in [/mm] C$ sind Häufungspunkte (also keine isolierten Punkte):
Für alle $r>0$ existiert ein [mm] $0<\epsilon
Wende die Schnittvorschrift auf das Intervall [mm] $[x-\epsilon;x]$ [/mm] oder [mm] $[x;x+\epsilon]$ [/mm] an, dann entstehen wegen oben unendlich viele weitere Randpunkte [mm] $\in [/mm] C$, also ist jedes $x$ Häufungspunkt und kein isolierter Punkt von $C$.
Wie sieht das soweit aus? Für Kommentare und Einschätzungen wäre ich dankbar.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
deine Ideen sind alle richtig, man könnte einiges nur ewas präziser aufschreiben.
> Die Schnittvorschrift entfernt für [mm] $C^{(k+1)}$ [/mm] jeweils das
> mittlere Drittel aller Intervalle aus [mm] $C^{(k)}$, [/mm] d.h.,
> dass, wenn man mit [mm] $|C^{(k)}|$ [/mm] die Gesamtlänge der
> vorhandenen Intervalle bezeichnet, gilt
> [mm] $|C^{(k+1)}|=\bruch{2}{3}*|C^{(k)}|$.
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Seien nun [mm] $(|C^{(k)}|)_{k\in\IN}$ [/mm] die Folge über die
> Intervallängen mit [mm] $|C^{(1)}|=1$ [/mm] und [mm] $(R_{k})_{k\in\IN}$ [/mm]
> die Folge der Menge der entstehenden Randpunkte mit
> [mm] $R_{1}=2$, [/mm] dann ist
> [mm] $\limes_{k \to \infty}{|C^{(k)}|}=\limes_{k \to
> \infty}{(\bruch{2}{3}^{k-1}*|C^{(1)}|)}=0$
[/mm]
und
> [mm] $\limes_{k \to \infty}{R_{k}}=\limes_{k \to
> \infty}{2^{k-1}*R_{1}}=\infty$,
[/mm]
> also ist die Anzahl der Randpunkte unbegrenzt und die
> Intervallängen gehen gegen 0, also sind nur noch Randpunkte
> vorhanden.
Dieser Schluss ist etwas voreilig. Es könnte auch unendlich viele Randpunkte geben, aber zusätzlich auch andere Punkte. Klar, in Verbindung mit obigem nicht, aber das sollte man vielleicht genauer begründen (schau dir mal meine Lösung an: ich zeige zuerst, dass jeder Punkt Häufungspunkt ist und schließe dann aus der Tatsache, dass es keine inneren Punkte gibt, dass jeder Punkt Randpunkt ist; das ist etwas sauberer.) Aber deine Idee ist super! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
> Beweis alle $x [mm] \in C=\limes_{k \to \infty}{C^{(k)}}$ [/mm] sind
> Randpunkte (und damit keine inneren Punkte):
> Für alle $r>0$ existiert ein [mm] $0<\epsilon
> [mm] $x+\epsilon$ [/mm] oder [mm] $x-\epsilon \in [/mm] C$.
> Nach der Schnittvorschrift sind aber alle $s [mm] \in [/mm]
> [mm] (x-\bruch{2}{3}*\epsilon;x-\bruch{1}{3}*\epsilon)$ [/mm] oder
> [mm] $(x+\bruch{1}{3}*\epsilon;x+\bruch{2}{3}*\epsilon)$ [/mm] nicht
> in C enthalten.
Das verstehe ich nicht so hundertprozentig. Ich denke, ich habe es exakter aufgeschrieben. Oder aber ich bin gerade zu blöd, um diese Aussage richtig zu verstehen. Oder meinst du vielleicht etwas anderes? Warum sollten denn die kompletten Intervalle nicht in $C$ enthalten sein?
> Also enthält jedes [mm] $U_{r}(x)$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] C$, $r>0$ Elemente
> aus $C$ und [mm] $\IR \setminus [/mm] C$ und somit ist jedes $x$
> Randpunkt und kein innerer Punkt von $C$.
(unter der Annahme, dass es vorher richtig wäre)
> Beweis alle $x [mm] \in [/mm] C$ sind Häufungspunkte (also keine
> isolierten Punkte):
> Für alle $r>0$ existiert ein [mm] $0<\epsilon
> [mm] $x+\epsilon$ [/mm] oder [mm] $x-\epsilon \in [/mm] C$.
> Wende die Schnittvorschrift auf das Intervall
> [mm] $[x-\epsilon;x]$ [/mm] oder [mm] $[x;x+\epsilon]$ [/mm] an, dann entstehen
> wegen oben unendlich viele weitere Randpunkte [mm] $\in [/mm] C$, also
> ist jedes $x$ Häufungspunkt und kein isolierter Punkt von
> $C$.
Anschaulich richtig! Könnte man präzisieren (schau dir meine Lösung an).
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Jessica!
> d) [mm]M_d := \cap_{k\in\IN}C^{(k)} mit C^{(1)} := [0,1], C^{(2)} := [0,\bruch{1}{3}] \cup [\bruch{2}{3},1], C^{(k+1)} = C^{(k)} \ \cup _{l=1}^{3k-1}(3^{-k-1}(3l+1), 3^{-k-1}(3l+2))[/mm]
> für alle k>2 und n=1.
Hier muss es richtig heißen:
[mm]C^{(k+1)} = C^{(k)} \red{\setminus} \cup _{l=1}^{3^{k-1}}(3^{-k-1}(3l+1), 3^{-k-1}(3l+2))[/mm]
> Hinweis: Für alle k und alle l zwischen 1 und [mm]3^{k-1}[/mm]
> liegen die beiden Punkte [mm]3^{-k-1}(3l+1) und 3^{-k-1}(3l+2)[/mm]
> in der Cantor MEnge [mm]M_d[/mm] (nach Georg Cantor (1845-1918)).
Diesen Tipp nutzen wir nun aus.
Es sei $x [mm] \in M_d$ [/mm] und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $3^{-k-1} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Da die in [mm] $M_d$ [/mm] enthaltenen Punkte [mm] $3^{-k-1}(3l+1)$ ($l=1,\ldots, 3^{k-1}$) [/mm] und [mm] $3^{-k-1}(3l+2)$ ($l=1,\ldots, 3^{k-1}$) [/mm] den (minimalen) Abstand [mm] $3^{-k-1}$ [/mm] haben, gibt es ein [mm] $l=1,\ldots, 3^{k-1}$ [/mm] mit
$|x - [mm] 3^{-k-1}(3l+1)| \le 3^{-k-1} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
oder:
$|x - [mm] 3^{-k-1}(3l+2)| \le 3^{-k-1} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Daher sind alle $x [mm] \in M_d$ [/mm] Häufungspunkte.
(Insbesondere kann es keine isolierten Punkte geben.)
Zugleich ist $x$ ein Randpunkt, da [mm] $M_d$ [/mm] kein Intervall positiver Länge enthält, wie von AT-Colt gezeigt wurde. Somit ist [mm] $M_d$ [/mm] nirgends dicht, enthält also keine inneren Punkte. Dann müssen die Häufungspunkte aber notwendigerweise Randpunkte sein, eine andere Chance haben sie gar nicht.  (Folgt sofort aus den Definitionen.)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:06 Do 03.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Erstmal danke für eure Antworten,
aber ich habe da noch ein paar Fragen:
Zu b) Den Fehler sehe ich ein. Folglich würde dann bei b) folgendes gelten:
Sei [mm]x\in\IR^n[/mm] und [mm]K_r(x)[/mm] mit r>0 eine Umgebung von x. Dann ist [mm]x\in\IR^n[/mm] ein innerer Punkt von [mm]M_b[/mm], da ein r>0 mit [mm]K_r(x)[/mm] existiert für die gilt [mm]K_r(x)\subset M[/mm].
Die Menge [mm]M_b[/mm] besitzt dann auch Häufungspunkte und zwar alle [mm]x\in\IR^n[/mm], denn in jeder Umgebung von [mm]x\in\IR^n[/mm] gibt es ein "Tupel" aus irrationalen Zahlen. Somit ist ganz [mm]\IR^n[/mm] die Menge der Häufungspunkte. Deswegen besitzt auch [mm]M_b[/mm] keine isolierten Punkte. Dann wäre auch die MEnge der Randpunkte ganz [mm]IR^n[/mm]
Wäre diese Antwort so richtig?! Oder habe ich da noch nen Fehler?! Ist die Begründung ausreichend?
Zu c) [mm]K_r(x)=[/mm] [ [mm]y\in\IR^n:||y-x||
([] sollen Mengenklammern sein, sorry, bekomme das irgendwie nicht hin...) ist so bei uns definiert, dass würde dann aber an der Tatsache, dass [mm]K_r(x)[/mm] die Menge aller inneren Punkte von [mm]M_c[/mm] ist, nichts ändern.
Sind meine anderen Antworten zu c) dann auch falsch (die beim ersten Post)?
Zu d) Warum ist [mm]l=1,...,3k-1[/mm]? Müsste es nicht eigentlich [mm]3^{k-1}[/mm] lauten, weil nämlich im Hinweis steht dass für alle k und l zwischen 1 und [mm]3^{k-1}[/mm] die beiden Punkte liegen? Oder habe da einen Schritt nicht verstanden?
Bis denne
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Jessica!
Ich antworte nur auf dich mich betreffende Frage, da ich keine Zeit habe:
> Zu d) Warum ist [mm]l=1,...,3k-1[/mm]? Müsste es nicht eigentlich
> [mm]3^{k-1}[/mm] lauten, weil nämlich im Hinweis steht dass für alle
> k und l zwischen 1 und [mm]3^{k-1}[/mm] die beiden Punkte liegen?
> Oder habe da einen Schritt nicht verstanden?
Es war ein Schreibfehler meinerseits, den ich jetzt verbessert habe. Vielen Dank für den Hinweis! 
Liebe Grüße
Julius
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