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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Di 07.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Man gebe ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 mit Koeffizienten in [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] an und man gebe ein irreduzibles Polynom in [mm] \mathbb{Q}[T] [/mm] an, das als Element von [mm] \mathbb{R}[T] [/mm] nicht irreduzibel ist. |
Hallo,
als erstes Polynom habe ich mir [mm] T^3+1 [/mm] genommen. Ich denke, dass dies auch irreduzibel in [mm] \mathbb{F}_2 [/mm] ist, oder habe ich etwas übersehen?
Bei dem zweiten fällt mir jetzt keins ein, ich will aber nicht nur einfach eines gesagt bekommen, sondern vielmehr einige Tipps, wie man eines findet.
Für Tipps bin ich dankbar.
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Hallo Unk,
> Man gebe ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 mit
> Koeffizienten in [mm]\mathbb{F}_2[/mm] an und man gebe ein
> irreduzibles Polynom in [mm]\mathbb{Q}[T][/mm] an, das als Element
> von [mm]\mathbb{R}[T][/mm] nicht irreduzibel ist.
> Hallo,
>
> als erstes Polynom habe ich mir [mm]T^3+1[/mm] genommen. Ich denke,
> dass dies auch irreduzibel in [mm]\mathbb{F}_2[/mm] ist, oder habe
> ich etwas übersehen?
Ja, hast du.
Polynome vom Grad 2 oder 3 sind über Körpern genau dann irreduzibel, wenn sie keine Nullstellen haben.
[mm] $T^3+1$ [/mm] hat aber über [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] die Nullstelle [mm] $\overline{1}$
[/mm]
Da musst du also noch ein bisschen basteln 
>
> Bei dem zweiten fällt mir jetzt keins ein, ich will aber
> nicht nur einfach eines gesagt bekommen, sondern vielmehr
> einige Tipps, wie man eines findet.
Da hier kein Grad vorgeschrieben ist, nimm am einfachsten ein quadratisches.
>
> Für Tipps bin ich dankbar.
Mein Tipp: Kennst du den Beweis, dass [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht rational ist?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 07.07.2009 | | Autor: | Unk |
Ok, für das erste habe ich jetzt [mm] T^3+T^2+1=0. [/mm] So wie ich das sehe, erfüllt weder T=0, noch T=1 die Gleichung, also irreduzibel, right?
Fürs zweite dann einfach [mm] T^2-2=0. [/mm] Hat in [mm] \mathbb{Q} [/mm] keine Nullstelle, aber in [mm] \mathbb{R}, [/mm] nämlich [mm] \sqrt{2}. [/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok, für das erste habe ich jetzt [mm]T^3+T^2+1=0.[/mm] So wie ich
> das sehe, erfüllt weder T=0, noch T=1 die Gleichung, also
> irreduzibel, right?
>
> Fürs zweite dann einfach [mm]T^2-2=0.[/mm] Hat in [mm]\mathbb{Q}[/mm] keine
> Nullstelle, aber in [mm]\mathbb{R},[/mm] nämlich [mm]\sqrt{2}.[/mm]
Right you are!
LG
schachuzipus
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