irreduzible Faktorzerlegung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zerlegen Sie in Q[X] das Polynom [mm] X^8-1 [/mm] in irreduzible Faktoren. |
Hallo zusammen,
ich bin mir nicht sicher, ob die Lösung stimmt. Hoffe auf euer Feedback dazu: [mm] x^8-1=(x^4-1)*(x^4+1)=(x^2-1)*(x^2+1)*(x^4+1)=(x-1)*(x+1)*(x^2+1)*(x^4+1).
[/mm]
Gruß
|
|
| |
|
Bis hierhin stimmts.
Kannst Du zeigen, dass [mm] (x^2+1) [/mm] und [mm] (x^4+1) [/mm] irreduzibel sind?
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein, das ist mir nicht klar. Ist es nicht möglich, dieses Polynom über [mm] \IQ [/mm] noch weiter zu zerlegen? Theoretisch sollte die nur über [mm] \IC [/mm] machbar sein.
Gruß
|
|
|
| |
|
Stimmt auch genau.
Nur muss es ja einen Weg geben, das zu zeigen. Es wäre ja sonst denkbar, dass Du einfach eine mögliche Zerlegung übersehen hast. Es ist zwar sehr einfach, aber Du musst trotzdem zeigen, dass [mm] (x^2+1) [/mm] und [mm] (x^4+1) [/mm] nicht weiter zerlegbar sind.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, wie genau soll ich das zeigen. Das ist mir an dieser Stelle nicht ganz klar.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Jacques,
> Hallo,
>
> ja, wie genau soll ich das zeigen. Das ist mir an dieser
> Stelle nicht ganz klar.
Polynome vom Grad 2 oder 3 sind irreduzibel über einem Körper genau dann, wenn sie keine NST(en) in dem Körper haben, damit lässt sich das erste [mm] $x^2+1$ [/mm] doch schnell erschlagen.
Beim zweiten [mm] $x^4+1$ [/mm] substituiere [mm] $\tilde{x}=x+1$, [/mm] dann mit Eisenstein ran
>
> Gruß
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
ok, aber Eisenstein wurde bisher in der Vorlesung noch nicht behandelt. Gibt es da auch eine andere Möglichkeit, dies zu zeigen?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ok, aber Eisenstein wurde bisher in der Vorlesung noch
> nicht behandelt.
Schade 
> Gibt es da auch eine andere Möglichkeit,
> dies zu zeigen?
Jo, versuche den Weg "zu Fuß", bastel dir eine Zerlegung [mm] $(x^4+1)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
[/mm]
Den Kram ausmultiplizieren, nach Potenzen von x ordnen und einen Koeffizientenvgl. machen.
Es sollte keine Lösung für [mm] $a,b,c,d\in\IQ$ [/mm] geben ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ok, stimmt, man erhält einen schönen Widerspruch. Vielen Dank für den Tipp.
Gruß
|
|
|
|
