irrationale funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 05.06.2005 | | Autor: | elsejen |
hey,
ich muss dies Aufgabe in Mathe vorführen und komm an nicht weiter. Würde mich super freuen, wenn mir jemand helfen kann!!!
Für jedes t [mm] \in [/mm] R+ ist eine Frunktion Ft duch ft(x) = (x²-9)/ t sowie deren Kehrwertfunktion gt mit gt(x) = t/ (x²-9). Der Gragp von ft und gt seien Kt bzw. Ct.
a) Geben sie die Nullstellen, die Extremstelle und den Extremwert von ft an. Welche Bedeutung haben diese Stellen für gt?
b) Zeichnen sie die Graphen K5 un C5 |x | kleiner-gleich 5 in dasselbe Kooerdinatensystem.
c) Für welchen Wert von t berühren sich Kt und Ct?
d) Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von Kt und Ct in Abhängingkeit von t.
Lösungsansatz:
a) Nullstellen
(x²-9) / t = 0 X = [mm] \pm [/mm] 3
Bei den Extremstellen komm ich nicht weiter! Mein Problem ist, dass ich schon bei den Ableitungen häünen bleib. ich weiß nicht die Ableitung von t.
Jedoch weiß ich aus aufgabe b), dass ft einen Tiefpunkt hat bei (0 | ?)
und bei der Kehrwertfunktion liegt ein Hochpunkt auch bei (0 | ?) vor.
b)
die habe ich erledigt. der graph von ft ist eine Parabel und der andere ist geteilt.
c) diese habe ich auch erledigt. wenn t=9 ist berühren sich nur die beiden graphen.
d) 0 < x < 9 4 gemeinsame Punkte
x= 9 3 gemeinsame Punkte
x > 9 2 gemeinsame Punkte
Jedoch wie kann man das rechnerisch beweisen!
Würde mich super freuen, wenn mir jemand helfen kann ....
danke shcon einmal im voraus..... elsejen
ich habe diese Frage auf keinen Forum auf anderen Internetseiten gestellt!!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gbk) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 05.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für jedes t [mm]\in[/mm] R+ ist eine Frunktion Ft duch ft(x) =
> (x²-9)/ t sowie deren Kehrwertfunktion gt mit gt(x) = t/
> (x²-9). Der Gragp von ft und gt seien Kt bzw. Ct.
> a) Geben sie die Nullstellen, die Extremstelle und den
> Extremwert von ft an. Welche Bedeutung haben diese Stellen
> für gt?
>
> b) Zeichnen sie die Graphen K5 un C5 |x | kleiner-gleich 5
> in dasselbe Kooerdinatensystem.
>
> c) Für welchen Wert von t berühren sich Kt und Ct?
>
> d) Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von Kt
> und Ct in Abhängingkeit von t.
>
>
> Lösungsansatz:
> a) Nullstellen
>
> (x²-9) / t = 0 X = [mm]\pm[/mm] 3
Ja.
> Bei den Extremstellen komm ich nicht weiter! Mein Problem
> ist, dass ich schon bei den Ableitungen häünen bleib. ich
> weiß nicht die Ableitung von t.
Nein, nein. Einfach [m]f_t[/m] ableiten - das t ist eine Konstante, wie eine Zahl. Tu so als ob es eine Zahl wie 5 wäre und leite nach x ab. Hast du dann eine Idee was das Minimun von dieser Funktion für die andere bedeutet? (Tip: Minimum heisst ja, dass [m]f_t(x_0)\le f_t(x)[/m] für alle x (in einer Umgebung, d.h in der Nähe) mit [m]x_0[/m] Extremalstelle.)
> Jedoch weiß ich aus aufgabe b), dass ft einen Tiefpunkt
> hat bei (0 | ?)
> und bei der Kehrwertfunktion liegt ein Hochpunkt auch
> bei (0 | ?) vor.
hmm, da ist ja die Idee - kannst du das formalisieren?
> c) diese habe ich auch erledigt. wenn t=9 ist berühren sich
> nur die beiden graphen
Und dein Rechenweg? Was soll den brühren heissen? Das die Graphzen sich schneiden? Wo ist denn dann der Unterschied zur d)?
> d) 0 < x < 9 4 gemeinsame Punkte
> x= 9 3 gemeinsame Punkte
> x > 9 2 gemeinsame Punkte
x? Das hängt doch alles von t ab! Setze die beiden Funktionsterme gleich und versuche damit witerzumachen, d.h. x Werte in Abhängigkeit von t berechnen. (Tip: irgendwann mal musst du wohl [m]z:=x^2[/m] substituieren um weiterzukommen.)
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mo 06.06.2005 | | Autor: | elsejen |
Kann das gemeint ist, dass wenn bei ft ein Minimum ist, dass bei gt ein Mximum ja an der Stelle vorliegt. Ebenfalls liegt bei den Nullstellen von ft jeweils eine senkrechte Asyptote bei gt.
Wenn ich die Ableitungen hab kann ich ja eine allgemeine Angabe machen über die Extremstellen. Man nimmt die erste Ableitung und setzt diese gleich null.Jedoch komm ich dabei auf x= t + [mm] \wurzel{t²-9}
[/mm]
und x = t - [mm] \wurzel{t²-9}
[/mm]
habe bei Aufgabe c) einfach die zwei terme gleichgesetzt, weil t muss ja gleich sein. berühren heißt, dass die beiden Graphen sich nur berühren und nicht shcneiden.
zur Aufgabe d)
habe mich vertippt... ich meinte auch t
Kann mir jemand sagen, ob das soweit richtig ist und vorallem das mit den Ableitungen.... vielen dank shcon einmal
|
|
|
| |
|
Ich beschränke mich aus Zeitgründen mal auf den Teil d)
deine Lösung ist richtig, die Rechnung ergibt sich durch gleich setzen:
[mm] \bruch{t}{x^2-9}=\bruch{x^2-9}{t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow t^2=(x^2-9)^2 [/mm] durch Überkreuzmultiplikation
[mm] \Rightarrow t=\pm (x^2-9)
[/mm]
beachte bitte , dass auf der rechten Seite auch [mm] \pm [/mm] t stehen müsste nach dem Wurzel ziehen, t>0 ist nach Vorausetzung aber vorgegeben !!
wenn du nun nach x auflöst, erhälst du:
[mm] x_1=\pm\wurzel{t+9}
[/mm]
[mm] x_2=\pm\wurzel{9-t}
[/mm]
also max 4 Lösungen, je nachdem, ob die Diskriminante (also der Ausdruck unter der Wurzel) positiv, negativ oder null ergibt.
teste doch mal die selber die Anzahl der Lösungen mit deinen drei Intervallen für t<0, t=0 und t>0, dann wirds dir bestimmt klarer.
Grüsse aus Wiesbaden
OLIVER
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 06.06.2005 | | Autor: | elsejen |
Um bei a) die Extremstelle zu ermitteln, brauch ich die Ableitungen. Meine Ableitung ft`(x) = 2tx-x²+9 / t². Kann das sein?
Weil wenn ich nun ft`(x)=0 setzte ergibt sich für x = t+ [mm] \wurzel{t²-9} [/mm] und x= t - [mm] \wurzel{t²-9}
[/mm]
Mir kommen diese Lösungen sehr komisch vor und außerdem weiß ich nicht, wie man den Vorzeichenwechsel mit solch einer Lösung zur Kontrolle ausführen muss.
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte....danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 06.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast bei den Erklärungen in der ersten Antwort nicht aufgepasst. du siehst immer nur eine Kurve an! t ist dabei eine konstante. Nur dass du all die vielen Kurven auf einmal behandeln kannst, wenn du für t verschiedene Werte nachträglich einsetzt! also differenzieerst du [mm] f(t)=(x^{2}-9)/t= \bruch{1}{t}*(x^{2}-9)genauso [/mm] wie etwa:
[mm] f(t)=\bruch{1}{6,3}*(x^{2}-9)! [/mm] rechne mit den 6,3 nichts aus und setz am Schluss wieder t ein!
Es geht aber auch ohne Ableitung! [mm] X^{2}-9 [/mm] ist eine Parabel mit den Nullstellen bei +3 und -3. Da der Scheitel immer in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt ist der Scheitel bei x=0. Das ist ein Minimum, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist also für t>0
ein Max. wenn die Parabel nach unten geöffnet ist also für t<0 t= 0 ist die Funktion nicht definiert. Wenn du x=0 einsetzest, siehst du auch dass die Lage des Scheitels bei y=-9/t ist. also t>0 y(0)<0, t<0 y(0)>0!
jetzt sieh dir gt an: was passiert bei den Nullstellen? was beim Min und Maximum. Denk dran : der Wert eines Bruches ist umso größer, je kleiner sein Nenner und umgekehrt.
(das mit dem Differenzieren solltest du zur Übung trotzdem machen.
> Um bei a) die Extremstelle zu ermitteln, brauch ich die
> Ableitungen. Meine Ableitung ft'(x) = 2tx-x²+9 / t². Kann
> das sein?
Nein s.o.
> Weil wenn ich nun ft'(x)=0 setzte ergibt sich für x = t+
> [mm]\wurzel{t²-9}[/mm] und x= t - [mm]\wurzel{t²-9}[/mm]
>
> Mir kommen diese Lösungen sehr komisch vor und außerdem
> weiß ich nicht, wie man den Vorzeichenwechsel mit solch
> einer Lösung zur Kontrolle ausführen muss.
brauchst du ja nicht!
Gruss leduart
|
|
|
|
