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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 15.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Zeige, daß jedes beliebige Intervall [a;b], (a;b) etc. in [mm] \IR [/mm] eine irrationale Zahl enthält. |
Guten Abend,
irgendwie finde ich keine einfache Lösung. Es liegt mir vor der Beweis,daß jedes Intervall in [mm] \IR [/mm] eine rationale Zahl enthält. Mit fällt nur eine Fallunterscheidung ein für die Randpunkte rational bzw. irrational und Bildung des arithmetischen Mittels falls die Randpunkte irrational. Falls rationale Randpunkte eventuell das Mittel [mm] \bruch{\wurzel{a^2+ b^2}}{\wurzel{2}} [/mm] zur Erzeugung einer irrationalen Zahl im Intervall.
Ansonsten liegt mir der Beweis vor, daß [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] aber nicht abzählbar ist. Aber das scheint mir noch als Beweis zu dünn.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Zeige, daß jedes beliebige Intervall [a;b], (a;b) etc. in
> [mm]\IR[/mm] eine irrationale Zahl enthält.
> Guten Abend,
> irgendwie finde ich keine einfache Lösung. Es liegt mir
> vor der Beweis,daß jedes Intervall in [mm]\IR[/mm] eine rationale
> Zahl enthält. Mit fällt nur eine Fallunterscheidung ein
> für die Randpunkte rational bzw. irrational und Bildung
> des arithmetischen Mittels falls die Randpunkte irrational.
> Falls rationale Randpunkte eventuell das Mittel
> [mm]\bruch{\wurzel{a^2+ b^2}}{\wurzel{2}}[/mm] zur Erzeugung einer
> irrationalen Zahl im Intervall.
>
> Ansonsten liegt mir der Beweis vor, daß [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist
> [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] aber nicht abzählbar ist. Aber das scheint mir
> noch als Beweis zu dünn.
Streng genommen ist die obige Aussage falsch.
Das Intervall [5;5] [mm] =\{x\in\IR\,|\,5\le x\le 5\} [/mm] besteht nur
aus der Zahl 5 und enthält also keine irrationale Zahl.
In der Voraussetzung fehlt die Forderung, dass
a<b sein soll.
Wenn du von dem vorliegenden Beweis ausgehen
willst, der besagt, dass jedes Intervall (mit positiver
Länge) eine rationale Zahl enthält, kannst du z.B.
zum Intervall von a bis b (ob offen oder abgeschlossen)
die beiden offenen Teilintervalle (a;m) und (m;b)
bilden, wobei m=(a+b)/2. Dein Satz liefert dir dann
die Existenz je einer rationalen Zahl l im linken und r
im rechten Teilintervall, wobei l<r ist. Dann musst du
dir nur noch überlegen, wie du aus l und r eine garan-
tiert irrationale Zahl konstruieren kannst, die dazwi-
schen liegt (und damit auch im Intervall von a bis b).
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 16.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo,
das habe ich soweit verstanden. Vielen Dank. für l,r rational und l < r habe ich abgeleitet, dass l < [mm] \wurzel{rl} [/mm] < r . Außerdem habe ich abgleitet, daß [mm] \wurzel{rl} \in \IN [/mm] oder irrational. Dass [mm] \wurzel{rl} [/mm] nicht [mm] \in \IN [/mm] ist, habe ich hergestellt dadurch dass ich r, l so bestimmt habe dass beide rational aber [mm] \not\in \IN [/mm] und so daß l - r <1 und gezeigt dass dann [mm] \wurzel{rl} [/mm] ebenfass [mm] \not\in \IN, [/mm] Ganz schön umständlich das ganze.
Viele Grüße
Antonio
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> Hallo,
> das habe ich soweit verstanden. Vielen Dank. für l,r
> rational und l < r habe ich abgeleitet, dass l <
> [mm]\wurzel{rl}[/mm] < r . Außerdem habe ich abgleitet, daß
> [mm]\wurzel{rl} \in \IN[/mm] oder irrational. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt so nicht:
Wenn z.B. [mm] l=\frac{1}{9} [/mm] und [mm] r=\frac{1}{4} [/mm] , so ist
[mm] \sqrt{r*l} [/mm] rational, aber nicht ganzzahlig.
> Dass [mm]\wurzel{rl}[/mm] nicht
> [mm]\in \IN[/mm] ist, habe ich hergestellt dadurch dass ich r, l so
> bestimmt habe dass beide rational aber [mm]\not\in \IN[/mm] und so
> daß l - r <1 und gezeigt dass dann [mm]\wurzel{rl}[/mm] ebenfass
> [mm]\not\in \IN,[/mm] Ganz schön umständlich das ganze.
> Viele Grüße
> Antonio
Es gäbe vielleicht einen einfacheren oder
eleganteren Weg. Um aus zwei rationalen
Zahlen l und r eine dazwischen liegende,
sicher irrationale Zahl zu bestimmen,
würde ich statt [mm] \sqrt{r*l}, [/mm] weil das wieder
rational werden kann, etwas anderes vor-
schlagen, zum Beispiel:
[mm] l+\bruch{r-l}{\sqrt{2}}
[/mm]
Das ist garantiert irrational, falls r und l
rational waren.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 18.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo noch mal,
entschuldige bitte dass ich mich erst so spät melde. Dein Einwand bezüglich [mm] \wurzel{lr} [/mm] verstehe ich, ich habe den Fehler in meinem Beweis gefunden. Bezüglich Deinem Vorschlag l + [mm] \bruch{r - l}{\wurzel{2}} [/mm] versthe ich die Idee, komme aber ich nicht ganz zum Ende eines Beweises. Ich kann zwar zeigen, daß der Term im Intervall l;r liegt, aber nicht die Irrationalität beweisen:
Ich habe zunächst bewiesen, daß [mm] a\wurzel{2} [/mm] irrational für beliebiges rationales a - ich denke zumindest dass mein Beweis dazu in Ordnung ist - und ebenso [mm] \bruch{a}{\wurzel{2}} [/mm] irrational für beliebiges rationales a. Für einen kompletten Beweis fehlt mir aber noch der Teil, dass l + beliebiges irrationales x ebenfalls irrational. Irgendwie fehlt es mir an einer "positiven" Definition der Irrationalität dafür, oder?
Viele Grüße
Antonio
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> Hallo noch mal,
> entschuldige bitte dass ich mich erst so spät melde. Dein
> Einwand bezüglich [mm]\wurzel{lr}[/mm] verstehe ich, ich habe den
> Fehler in meinem Beweis gefunden. Bezüglich Deinem
> Vorschlag l + [mm]\bruch{r - l}{\wurzel{2}}[/mm] versthe ich die
> Idee, komme aber ich nicht ganz zum Ende eines Beweises.
> Ich kann zwar zeigen, daß der Term im Intervall l;r liegt,
> aber nicht die Irrationalität beweisen:
> Ich habe zunächst bewiesen, daß [mm]a\wurzel{2}[/mm] irrational
> für beliebiges rationales a - ich denke zumindest dass
> mein Beweis dazu in Ordnung ist - und ebenso
> [mm]\bruch{a}{\wurzel{2}}[/mm] irrational für beliebiges rationales
> a. Für einen kompletten Beweis fehlt mir aber noch der
> Teil, dass l + beliebiges irrationales x ebenfalls
> irrational. Irgendwie fehlt es mir an einer "positiven"
> Definition der Irrationalität dafür, oder?
> Viele Grüße
> Antonio
Hallo Antonio,
l ist rational, und rational+irrational ergibt stets irrational.
Beweis durch Widerspruch:
Wäre x+y=z mit x rational, y irrational und z rational,
so würde gelten y=z-x mit [mm] z\in\IQ [/mm] und [mm] x\in\IQ [/mm] .
Die Differenz rationaler Zahlen ist aber stets wieder
rational. So müsste y sowohl rational als auch irrational
sein, was nicht möglich ist.
LG und schönen Abend !
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 18.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Lieber Al-Chwarizmi,
oh wie einfach!-und trotzdem bin ich nicht darauf gekommen. Vielen Dank!
Viele Grüße Antonio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
(a,b) lässt sich bijektiv auf [mm] (-\pi/2, \pi/2) [/mm] abbilden (wie ?)
Die Funktion $x [mm] \to [/mm] tan(x)$ bildet [mm] (-\pi/2, \pi/2) [/mm] bijektiv auf [mm] \IR [/mm] ab.
Nun nimm mal an, das Intervall (a,b) würde nur rationale Zahlen enthalten, dann wäre es also abzählbar. Damit wäre [mm] \IR [/mm] abzählbar, Widerspruch !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 20.08.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo Fred,
ich bin leider sehr spät dran. Ich verstehe die Idee Deines Ansatzes. Da die Tangensfunktion streng monoton ist für [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] < x < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] geht das mit der Bijektivität. Aber wie läßt sich (a,b) entsprechend abbilden? Mit ist nur die stereographische Projektion am Einheitskreis eingefallen, aber die geht erstens über den 1.und 2. Quadranten und nicht über den 1.und 4. und ich bräuchte ja die Differenz und damit ginge doch die Bijektivität flöten.
Viele Grüße
Antonio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 20.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fred,
> ich bin leider sehr spät dran. Ich verstehe die Idee
> Deines Ansatzes. Da die Tangensfunktion streng monoton ist
> für [mm]\bruch{-\pi}{2}[/mm] < x < [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] geht das mit der
> Bijektivität. Aber wie läßt sich (a,b) entsprechend
> abbilden? Mit ist nur die stereographische Projektion am
> Einheitskreis eingefallen, aber die geht erstens über den
> 1.und 2. Quadranten und nicht über den 1.und 4. und ich
> bräuchte ja die Differenz und damit ginge doch die
> Bijektivität flöten.
> Viele Grüße
> Antonio
Hallo,
ein Ast der "normalen" Tangensfunktion hat seinen "Mittelpunkt" bei x=0.
Das musst du so transformieren, dass der Mittelpunkt bei (a+b)/2 liegt:
y=tan(x- [mm] \bruch{a+b}{2}).
[/mm]
Nun musst du das Innere der Klammer noch mit einem geeigneten konstanten Faktor versehen, um die Intervallbreite [mm] \pi [/mm] an die Intervallbreite b-a "anzupassen".
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Fr 21.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien a<b und c<d. In einem x-y - Koordinatensystem trägst Du a und b auf der x-Achse ab und c,d auf der y-Achse.
Bestimme nun die affine Funktion $f(x) = ux+v$ so, dass $f(a) = c $ und $f(b) = d$ gilt (bestimme also die Gerade durch (a|c) und (b|d) )
Dieses f bildet das Intervall (a,b) bijektiv auf das Intervall (c,d) ab.
FRED
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> (a,b) lässt sich bijektiv auf [mm](-\pi/2, \pi/2)[/mm] abbilden
> (wie ?)
>
> Die Funktion [mm]x \to tan(x)[/mm] bildet [mm](-\pi/2, \pi/2)[/mm] bijektiv
> auf [mm]\IR[/mm] ab.
Hallo,
an Stelle der Tangensfunktion könnte man auch
eine rationale Funktion benützen:
Die Funktion
$\ [mm] f:x\,\to\,\frac{x}{1-x^2}$
[/mm]
bildet das Intervall $(-1\ [mm] .....\, [/mm] +1)$ bijektiv auf [mm] \IR [/mm] ab.
LG Al-Chw.
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