invertierbarkeit Eigenwert 0 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | A invertierbar [mm] \Leftrightarrow [/mm] 0 ist kein Eigenwert von A |
Hallo,
meine Idee:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei A invertierbar.
Angenommen 0 ist Eigenwert. Dann gilt für [mm] \lambda [/mm] =0:
[mm] 0=\chi_A(\lambda)=det(A-\lambda E_{n})\underset{\lambda=0!}{=}det(A)
[/mm]
Also [mm] det(A)=0\Rigtharrow [/mm] A nicht invertierbar. Widerspruch zur [mm] Voraussetzung\Rightarrow [/mm] 0 kein Eigenwert.
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Sei 0 kein Eigenwert. Dann gilt [mm] det(A-\lambda E_{n})=0 [/mm] mit [mm] \lambda \neq [/mm] 0, d.h. [mm] det(A)\neq 0\Righgtarrow [/mm] A invertierbar.
Ist das halbwegs korrekt? Ich finde meine Argumentation, besonders bei der Rück-Richtung, irgendwie schwach. Kann man es noch besser machen?
Gruß Sleeper
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> A invertierbar [mm]\Leftrightarrow[/mm] 0 ist kein Eigenwert von A
> Hallo,
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> meine Idee:
Hallo,
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> [mm]"\Rightarrow"[/mm] Sei A invertierbar.
Dann ist [mm] det(A)\not=0.
[/mm]
> Angenommen 0 ist Eigenwert. Dann gilt für [mm]\lambda[/mm] =0:
> [mm]0=\chi_A(\lambda)=det(A-\lambda E_{n})\underset{\lambda=0!}{=}det(A)[/mm]
>
> Also [mm]det(A)=0\Rigtharrow[/mm] A nicht invertierbar. Widerspruch
> zur [mm]Voraussetzung\Rightarrow[/mm] 0 kein Eigenwert.
Dem kann ich folgen.
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] Sei 0 kein Eigenwert. Dann gilt [mm]det(A-\lambda E_{n})=0[/mm]
> mit [mm]\lambda \neq[/mm] 0, d.h. [mm]det(A)\neq 0\Righgtarrow[/mm] A
> invertierbar.>
Diese Argumentation will sich mir nicht erschließen.
Mach es Dir doch leicht und beweise stattdessen die Kontrapos: 0 ist EW ==> A ist nicht invertierbar.
Gruß v. Angela
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