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| Aufgabe | | Zu berechnen ist die Anzahl der Elemente von [mm] GL_{2}( \IF_{p}). [/mm] |
Hallo zusammen!
oben genannte Aufgabenstellung bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich habe hier schon im Forum danach gesucht und die Formel dafür gefunden. [mm] (p^{2}-1)(p^{2}-p). [/mm] Ich dachte an einen Ansatz über Determinanten, da ja für invertierbare Matrizen A gilt: det(A) [mm] \not= [/mm] 0. Also wollte ich die Anzahl der nicht-invertierbaren 2x2 Matrizen von [mm] p^{4^{2}} [/mm] (der Menge aller möglichen 2x2-Matrizen) abzuziehen. Aber da komm ich irgendwie net weiter. Falscher Ansatz??
Irgendwer eine Idee??
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Do 19.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Die Menge [mm] $Gl_n{\IF_p}$ [/mm] lässt sich bijektiv auf die Menge der n-Tupel linear unabhängiger Vektoren aus [mm] $\IF_p^n$ [/mm] abbilden. Wir können also auch zählen, auf wie viele Weisen wir ein solches n-Tupel konstruieren können.
Für den ersten Vektor gibt es [mm] $p^n-1$ [/mm] Möglichkeiten; warum? jede Komponente kann die Werte $0,1,2,...,p-1$ annehmen, der Nullvektor ist jedoch auszuschließen, da die Menge der Vektoren im entstehenden n-Tupel sonst nicht mehr linear unabhängig sein könnte. Für den zweiten Vektor bleiben genau die Vektoren, die nicht im Erzeugnis des ersten liegen; da es genau $p$ Vielfache des ersten Vektors gibt, gibt es von diesen genau [mm] $p^n-p$. [/mm] Der dritte Vektor darf nicht im Erzeugnis der ersten beiden liegen, wofür es, wie man analog begründet, genau [mm] $p^n-p^2$ [/mm] Möglichkeiten gibt.
So fortfahrend erhält man [mm] $(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)\cdots (p^n-p^{n-1})$ [/mm] als Anzahl der betrachteten $n$-Tupel bzw. der Mächtigkeit von [mm] $Gl_{n}{\IF_p}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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