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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 29.12.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich absolut nicht weiterkomme.
Sei K ein Körper, n [mm] \ge2 [/mm] und sei [mm] \mu [/mm] : [mm] K^{n,n} \to [/mm] K eine multiplikative Funktion (es ist [mm] \mu(AC) [/mm] = [mm] \mu(A) \mu(C) [/mm] für alle A,C [mm] \in K^{n,n}) [/mm] , die weder konstant 0 noch konstant 1 ist.
Man beweise:
A [mm] \in K^{n,n} [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn [mm] \mu(A) \not= [/mm] 0 ist.
Ich wäre wirklich sehr dankbar für ein paar Tipps.
mfg IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Do 30.12.2004 | | Autor: | moudi |
Lieber IKE
Unter [mm]\mu[/mm] soll man sich soetwas wie eine Determinantenfunktion vorstellen. Zuerst zeigt mann, dass für die Einheitsmatrix [mm]I[/mm] gilt [mm]\mu(I)=1[/mm].
Dazu braucht man, dass für eine Matrix [mm]A[/mm] gilt [mm]\mu(A)\not= 0[/mm]. Dann gilt [mm]\mu(A)=\mu(A\*I)=\mu(A)\mu(I)[/mm] und weil [mm] \mu(A) \not=0[/mm] kann man die Gleichung durch [mm]\mu(A) [/mm] dividieren und erhält [mm]\mu(I)=1[/mm].
Jetzt folgt sofort, dass für invertierbare Matrizen [mm]A[/mm] gilt [mm]\mu(A)\not=0[/mm].
Denn [mm]1=\mu(I)=\mu(A\*A^{-1})=\mu(A)\mu(A^{-1})[/mm].
Die Umkehrung, dass für singuläre Matrizen A [mm]\mu(A)=0 [/mm] ist, scheint viel schwerer zu zeigen. Das kann ich jetzt nicht so aus den Aermeln schütteln.
mfg Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Fr 31.12.2004 | | Autor: | moudi |
Ich habe nochmals darüber nachgedacht und habe jetzt die Antwort (denke ich).
Für die Umkehrung zeigt man zuerst, dass für die Nullmatrix O gilt [mm] \mu(O)=0 [/mm]. Dazu benützt man eine Matrix A mit [mm] \mu(A)\not=1 [/mm]. Denn dann folgt aus [mm]\mu(O)=\mu(O\*A)=\mu(O)\mu(A) [/mm], dass [mm]\mu(O)=0 [/mm], sonst könnte man die Gleichung durch [mm] \mu(O)[/mm] diviedieren, was [mm]\mu(A)=1[/mm] ergeben würde, ein Widerspruch.
Jetzt definiert man die Diagonalmatrizen [mm]P_j [/mm], deren Diagonalelement 1 sind bis auf die Stelle j , wo eine 0 steht. Diese Projektoren sind alle zueinander ähnlich und deshalb ist [mm]\mu(P_j) [/mm] für alle j gleich.
Weiter ist das Produkt [mm] P_1\*P_2\*\dots\*P_n=0 [/mm], dann muss auch [mm]\mu(P_j)[/mm] gleich Null sein. Jetzt kann man jede Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente 0 oder 1 sind und mindestens ein Diagonalelement 0 ist, als Produkt solcher [mm]P_j[/mm] schreiben. Für solche Matrizen ist ebenfalls [mm]\mu(.)=0[/mm].
Zuletzt benötigt man noch, dass zu jeder singulären Matrix A eine reguläre Matrix B existiert (so etwas wie eine verallgemeinete Inverse), sodass [mm]A\*B[/mm] eine wie oben definierte Diagonalmatrix ist.
Dann muss [mm]\mu(A)=0[/mm]sein, da [mm]\mu(B)\not=0[/mm], was im ersten Teil gezeigt wurde.
Jetzt ist man fertig.
mfg Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Sa 01.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo,
vielen Dank erstmal für die Hilfe und die Mühe.
mfg IKE
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