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inverse mit Euklid: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Fr 04.02.2011
Autor: Vicky89

hallo,
ich soll das inverse zu [mm] x^{2}+2x+3 [/mm] in [mm] \IQ(\wurzel[3]{2} [/mm] mit euklid bestimmen.

ich bin soweit gekommen:
[mm] x^{3}-2=(x^{2}+2x+3)(x-2)+(x+4) [/mm]

[mm] (x^{2}+2x+3)=(x+4)(x-2)+11 [/mm]

[mm] 1=\bruch{1}{11}((x^{2}+2x+3)-(x+4)(x-2)) [/mm]


aber was muss ich jetzt machen?

danke im vorraus, für hilfe.

grüße

        
Bezug
inverse mit Euklid: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 05.02.2011
Autor: felixf

Moin!

> ich soll das inverse zu [mm]x^{2}+2x+3[/mm] in [mm]\IQ(\wurzel[3]{2}[/mm] mit
> euklid bestimmen.

Und $x = [mm] \sqrt[3]{2}$? [/mm] Oder bist du gar nicht in [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})$, [/mm] sondern in [mm] $\IQ[x]/(x^3 [/mm] - 2)$?

> ich bin soweit gekommen:
>  [mm]x^{3}-2=(x^{2}+2x+3)(x-2)+(x+4)[/mm]
>  
> [mm](x^{2}+2x+3)=(x+4)(x-2)+11[/mm]
>  
> [mm]1=\bruch{1}{11}((x^{2}+2x+3)-(x+4)(x-2))[/mm]

Und $x+4$ kannst du ersetzen durch [mm] $(x^3 [/mm] - 2) - [mm] (x^2 [/mm] + 2 x + 3) (x - 2)$.

Damit kannst du dann $1 = f [mm] \cdot (x^3 [/mm] - 2) + g [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 2 x + 3)$ schreiben mit $f, g [mm] \in \IQ[x]$. [/mm]

Modulo [mm] $x^2 [/mm] + 2 x + 3$ gilt also $1 = f [mm] \cdot (x^3 [/mm] - 2)$.

LG Felix


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