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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mo 10.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in [/mm] GL(n,K); nach einem Satz der Vorlesung kann man die Matrix A durch Zeilenumformungen (vom Typ I, II, III) überführen in die Einheitsmatrix [mm] 1_{n}.
[/mm]
a) Man zeige, dass jede dieser Zeilenumformungen der Multiplikation von A von links mit einer Matrix aus Gl(n,K) enstpricht.
b) Man begründe, warum sich bei (sukzessiver) Anwendung derselben Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix [mm] 1_{n} [/mm] genau die invere Matrix zu A ergibt.
c) Man wende dieses Verfahren an, um die inverse Matrix zu [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 1} \in GL(n,\IQ) [/mm] zu berechnen. |
Hallo zusammen!
Ich habe mich bei dieser Aufgabe direkt an die c) gemacht ...
Ich bekomme als inverse Matrix folgendes raus.
[mm] \pmat{ -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & -1 \\ \bruch{4}{3} & -\bruch{1}{3} & -2 \\ \bruch{4}{3} & -\bruch{1}{3} & -1}
[/mm]
Nur sollte nicht Matrix * inverse Matrix = Einheitsmatrix sein??
Ich komme da ganz sicher nicht auf [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Jemand ne Idee wo mein Fehler liegt?
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> Es sei A [mm]\in[/mm] GL(n,K); nach einem Satz der Vorlesung kann
> man die Matrix A durch Zeilenumformungen (vom Typ I, II,
> III) überführen in die Einheitsmatrix [mm]1_{n}.[/mm]
>
> a) Man zeige, dass jede dieser Zeilenumformungen der
> Multiplikation von A von links mit einer Matrix aus Gl(n,K)
> enstpricht.
>
> b) Man begründe, warum sich bei (sukzessiver) Anwendung
> derselben Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix [mm]1_{n}[/mm]
> genau die invere Matrix zu A ergibt.
>
> c) Man wende dieses Verfahren an, um die inverse Matrix zu
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 1} \in GL(n,\IQ)[/mm]
> zu berechnen.
> Hallo zusammen!
> Ich habe mich bei dieser Aufgabe direkt an die c) gemacht
> ...
> Ich bekomme als inverse Matrix folgendes raus.
>
> [mm]\pmat{ -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & -1 \\ \bruch{4}{3} & -\bruch{1}{3} & -2 \\ \bruch{4}{3} & -\bruch{1}{3} & -1}[/mm]
>
> Nur sollte nicht Matrix * inverse Matrix = Einheitsmatrix
> sein??
> Ich komme da ganz sicher nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Jemand ne Idee wo mein Fehler liegt?
Hallo,
das Prinzip hast Du richtig durchgeführt, da bin ich mir ziemlich sicher.
Rechne nochmal, ohne auf die alte Rechnung zu schauen. Du hast sicher einen Vorzeichenfehler gemacht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 10.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also wenn ich hier meine inverse Matrix berechnen lasse, komme ich praktisch auf das gleiche Ergebnis ... :(
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm
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> also wenn ich hier meine inverse Matrix berechnen lasse,
> komme ich praktisch auf das gleiche Ergebnis ... :(
>
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm
hallo,
sowohl wenn ich selbst rechne als auch wenn ich Arndt Brünner füttere, komme ich auf ein anderes Ergebnis als Du.
Hast Du denn nochmal gerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 10.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Ja ich habe nochmal gerechnet, und habe mittlerweile auch die richtigen Vorzeichen in der 2. Zeile ... aber das hilft mir nicht wirklich weiter
Denn am Vorzeichen liegt es für mich nicht wirklich ... ich komme einfahc nicht auf diese Einheitsmatrix ...
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> Ja ich habe nochmal gerechnet, und habe mittlerweile auch
> die richtigen Vorzeichen in der 2. Zeile ... aber das hilft
> mir nicht wirklich weiter
> Denn am Vorzeichen liegt es für mich nicht wirklich ...
> ich komme einfahc nicht auf diese Einheitsmatrix ...
Hallo,
zuvor konnte es kjedenfalls nicht klappen, weil Vorzeichen nicht stimmten. Wenn Du jetzt auch keine Einheitsmatrix bkommst, kanne sja nur daran liegen, daß Du entweder die Matrixmultiplikation nicht richtig beherrschst oder eben die Bruchrechnung.
Ohne daß Du ausführlich vorrechnest, kann man Dir schlecht helfen.
Poste die Matrix und zeige, wie Du multiplizierst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
danke :)
habe es mittlerweile hinbekommen ... mein Blatt war etwas zu unübersichtlich und habe dann dummerweise nochmal mit der alten inversen Matrix die Multiplikation gemacht :D
Kannst du Tipps zur a) und b) geben, wie ich dies am besten beweise bzw. begründe?
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> Kannst du Tipps zur a) und b) geben, wie ich dies am besten
> beweise bzw. begründe?
Hallo,
die a) verstehe ich so, daß Du Dich auf die Suche begeben sollst nach den Matrizen, die beim Multiplizieren mit einer anderen Matrix gerade die drei Typen von Zeilenumformungen bewirken.
Wenn Du weißt, daß sie auch unter dem Namen "Elementarmatrizen" gehandelt werden, sollte das Finden nicht schwer sein.
Also: suchen, finden, und dann zeigen, daß sie tatsächlich das Gewünschte bewirken. Letzteres würde ich durch Vorrechnen versuchen, also eine Matrix [mm] (a_i_k) [/mm] mit der Elementarmatrix multiplizieren und dann gucken und zeigen, daß das den erhofften Effekt hat.
Gruß v. Angela
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also ich verstehe die Aufgabe und weiß auch wieso es so ist, aber es fällt mir schwer, es mit Worten aufs Papier zu bringen. Ich versuche es mal, Verbesserungsvorschläge sind erwünscht ;)
a)
Sei A eine [mm] m(\times)n-Matrix [/mm] und [mm] R_{ij}(\alpha), T_{ij} [/mm] und [mm] S_{i}(\gamma) [/mm] Matrizen.
Die Multiplikation von links ergibt:
[mm] R_{ij}(\alpha)*A: [/mm] addiert [mm] \alpha-fache [/mm] der j-ten Zeile von A zur i-ten Spalte von A
[mm] T_{ij}*A: [/mm] vertauscht die i-te Zeile von A mit der j-ten Zeile von A
[mm] S_{i}(\gamma)*A: [/mm] multipliziert i-te Spalte von A mit dem Wert [mm] \gamma, [/mm] wobei die übrigen Zeilen unverändert bleiben
Bei der b) bin ich leider noch etwas ratlos WIESO es so ist ... ich hab lediglich rausgefunden, dass es sich bei Gl(n,K) um allgemein lineare Gruppen handelt und diese immer ein Inverses besitzen (im Gegensatz zu den singulären). Aber das bringt mich irgendwie nich wirklich weiter ^^
Kann man die Behauptung aufstellen und sagen:
Es muss [mm] A*A^{-1}=E [/mm] geben (E ist die Einheitsmatrix), also muss .... sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 13.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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