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| Aufgabe | Bestimmen Sie die invariante Verteilung [mm] $\pi$ [/mm] einer Markovkette mit der Übergangsmatrix und der aus der Vorlesung bekannten Formel [mm] $(P-I)^{T} \pi=0$
[/mm]
[mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{1 / 4}}\end{array}\right) [/mm] |
Hallo, ich habe gerade ein paar Probleme, denn die invariante Verteilung wird irgendwie immer anders bestimmt und ich habe das Gefühl, dass ich etwas falsch mache.
Man muss ja noch eine 4 Gleichung nutzen, nämlich
[mm] $$\pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2 +\pi_3 [/mm] =1$$
Und ich verstehe nicht warum die Matrix transponiert werden soll.
Also mache es nun einmal Schritt für Schritt und stoppe dort wo mein Problem anfängt.
[mm] $$(P-I)^{T} [/mm] = [mm] \left( \left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{1 / 4}}\end{array}\right) - \left( \begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {{0}} & {{0}} & {{1}}\end{array}\right) \right)^T [/mm] $$
$$ = [mm] \left( \left( \begin{array}{ccc}{-3 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {-1} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{-3 / 4}}\end{array}\right) \right)^T [/mm] $$
$$ = [mm] \left( \begin{array}{ccc}{-3 / 4} & {1 / 2} & {1 / 2} \\ {1 / 2} & {-1} & {1 / 2} \\ {{1 / 4}} & {{1 / 2}} & {{-3 / 4}}\end{array}\right) [/mm] $$
So nun muss ich den Vektor [mm] $\pi$ [/mm] rein multiplizieren , die 4te Gleichung dazuschreiben und alles 0 setzen.
Dann komme ich auf
$-3 / 4 [mm] \pi_1 [/mm] + 1/2 [mm] \pi_2 +1/2\pi_3 [/mm] =0$
$1 / 2 [mm] \pi_1 [/mm] -1 [mm] \pi_2 +1/2\pi_3 [/mm] =0$
$ 1/4 [mm] \pi_1 [/mm] + 1/2 [mm] \pi_2 -3/4\pi_3 [/mm] =0$
[mm] $\pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2 +\pi_3 [/mm] =1$
Hier existiert nun aber keine Lösung, auch Wolfram kommt auf kein Ergebnis
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)]
Kann mir Jemand bitte helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
P.S. Ich kann irgendwie keine Links hinzufügen, oder bin zu doof dafür xD. Es sollte nur ein Wolframalpha Link zur Berechnung des Gleichungssystem sein, damit ihr es zur Not nicht abtippen müsst.
Von daher hier einmal zum einfügen :
"-3 / 4 x + 1/2 y+1/2z =0, 1 / 2 x -y +1/2z =0, 1/4 x + 1/2 y -3/4z =0, x + y +z =1"
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 02.06.2019 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christian,
zu meiner Zeit nannte man dies noch den stationären Zustand der Zufallsvariablen und wenn ich mir dies mit der Matrix M hinschreibe, so möchte ich doch haben, dass sich die Werte der Zufallsvariablen bei Multiplikation mit der Übergangsmatrix nicht ändern.
Ich habe also eine Gleichungssystem
[mm] P \cdot \vektor{\pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3} = \vektor{\pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3} [/mm]
und dazu kommt noch die Randbedingung, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergeben muss
[mm] \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 [/mm]
Wo kommt denn da eine Transponierte mit rein?
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 02.06.2019 | | Autor: | meili |
Hallo Christian.B,
bist du dir sicher, dass die Matrix P die Werte hat, die du aufgeschrieben hast?
Oder sollte sie so sein:
$P = [mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{4}}$ [/mm] ?
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 So 02.06.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu meili,
gut aufgepasst!
Man hätte aber auch deutlicher schreiben können, dass die Matrix keine Übergangsmatrix ist, da sie nicht stochastisch ist 
Gruß,
Gono
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Hallo meili.
Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.
$$
[mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right)
[/mm]
$$
Tut mir leid:(
Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)
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Hallo meili.
Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.
$ [mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right) [/mm] $
Tut mir leid:(
Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)
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Hiho,
> Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch
> alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.
>
>
> [mm]P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right)[/mm]
> Tut mir leid:(
Das passiert.
> Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn
> ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)
Nein, die Ausgangsfrage ist damit beantwortet.
Mache deine Rechnungen nochmal mit der korrigierten Matrix und du erhältst ein Ergebnis.
Gruß,
Gono
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Hallo gono,
ja nun ist die Frage erledigt:)
Ich hätte aber noch eine andere und zwar, geht dieser Prozess hier auch einfacher/schneller? Gerade bei unschönen Zahlen, rechnet es sich von Hand ekelhaft, besonders bei 4 Gleichungen.
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Hiho,
korrigiert sehen deine Gleichungen ja so aus:
[mm] $\begin{cases} -\frac{3}{4} \pi_1 + \frac{1}{2} \pi_2 +\frac{1}{2}\pi_3 &= 0 \\ \frac{1}{2}\pi_1 - 1\cdot\pi_2 + \frac{1}{2}\pi_3 &= 0 \\ \frac{1}{4}\pi_1 + \frac{1}{2}\pi_2 - \frac{3}{4}\pi_3 &= 0 \\ 1\cdot\pi_1 + 1\cdot\pi_2 + 1\cdot\pi_3 &= 1\end{cases}$ [/mm]
Das ist ein ![[]](/images/popup.gif) lineares Gleichungssystem für dessen (schnelle) Lösung du im Studium bestimmt Verfahren gelernt hast…
Gruß,
Gono
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