interpolatorische Quadraturfor < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 01.06.2016 | | Autor: | Kaido123 |
| Aufgabe | Sei [mm] Q_{n}(f) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}f(x_{i})
[/mm]
eine interpolatorische Quadraturformel zum Grundintervall [a,b].
Zeigen Sie, dass
[mm] \tilde Q_{n}(f) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \tilde a_{i}f(\tilde x_{i}), [/mm] mit [mm] \tilde a_{i} [/mm] = [mm] \bruch{(\tilde b - \tilde a)}{(b - a)} \tilde a_{i}, \tilde x_{i} [/mm] = [mm] (x_{i} [/mm] - a) [mm] \bruch{(\tilde b - \tilde a)}{(b - a)} [/mm] + tilde a
eine Quadraturformel auf dem Intervall [ tilde a, tilde b ], ihre s.g. Transformierte, liefert.
Zeigen Sie, dass [mm] Q_{n} [/mm] und [mm] \tilde Q_{n} [/mm] diesselbe Ordnung haben. |
Hallo.
Ein Hinweis zur Vorgehensweise wäre toll.
Ich habe keine Ahnung wie ich da überhaupt anfangen sollte:
Also die Zweite ist die Verschobene zur Ersten.
Mit beiden kann ich das Integral berechnen. Aber wie, wenn ich f(x) gar nicht habe?
Das einzige was ich machen kann:
Etwa jeweils nach [mm] a_{i} [/mm] & tilde [mm] a_{i} [/mm] umformen u dann in die x Gleichung einsetzen?
Aber damit habe ich doch gar nichts gezeigt?
Was wuerde "gezeigt", in diesem Fall bedeuten?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Do 02.06.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Es geht ja um die Ordnung einer Quadraturformel, daher kläre zuerst, wie diese Ordnung definiert ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Kümmern wir uns zunächst um den Begriff "Ordnung". Dazu sei für $k [mm] \in \IN_0:$
[/mm]
[mm] P_k [/mm] := Menge aller Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] k$.
Dann ist die Ordnung [mm] ord(Q_n) [/mm] def. durch
[mm] ord(Q_n):= \max \{k \in \IN_0: Q_n(p)=\integral_{a}^{b}{p(x) dx} \quad \forall p \in P_k\}.
[/mm]
Du sollst zeigen:
[mm] $ord(Q_n)= [/mm] ord( [mm] \tilde Q_n)$.
[/mm]
Dazu genügt es, zu zeigen: ist $p$ ein reelles Polynom, so gilt
[mm] $Q_n(p)=\integral_{a}^{b}{p(x) dx} \quad \gdw \quad \tilde Q_n(p)=\integral_{\tilde a}^{\tilde b}{p(x) dx} [/mm] $.
Das geht aber mit einer einfachen Substitution.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 So 05.06.2016 | | Autor: | Kaido123 |
Vielen Dank fuer den Hinweis.
Also ist Ordnung der Grad des Polynoms.
Substitution?
Ich mach aus den beiden Quadraturformeln ein Polynom,
intregiere es und dann Substitution an den Integralgrenzen?
Ich vermute ich soll (b-a) aus der Summenklammer rausholen, und dann b & a an die Integralgrenzen setzen.
Das Polynom wird wohl nicht direkt angegeben werden muessen?
Ist wohl so eine theoretische Aufgabe ?
Denn in den Vorlesungsmateralien ist nichts womit ich eine Quadraturformel in ein Polynom verwandeln koennte.
Ich wuerde es dann so umformen, dass ich das anwenden kann:
https://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Integration#Interpolatorische_Quadraturformel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 06.06.2016 | | Autor: | Kaido123 |
Substituieren das die Integralgrenzen gleich werden.
Aber dann habe ich bei einer Seite ein dt stehen.
Damit habe ich doch nichts gezeigt?
Wenn ich stattdessen diese tilde x bei substution dann fuer x einsetze, dann ist die Katastrophe komplett.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Di 07.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast irgendwas völlig mißverstanden.
der Grad eines Quadraturverfahrens gibt an, welches Polynom von der Formel exakt integriert wird. also eine Formel 2 ten Grades integriert Parabeln also ax°2+bx+c exakt eine Formel 4 ten Grades integriert Polynome 4 ten Grades (und alle kleineren) exakt.
du kannst nicht wie du schreibst die Quadraturformel in ein Polynom verwandeln!
lies Freds Erläuterung mal wirklich!
Gruß leduart
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