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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mo 05.03.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | A sei der Interpoaltionsoperator
[mm] A:C[a,b]\to [/mm] P mit
Ax:= [mm] \summe_{k=0}^{n} x(t_{k})L_{k}, [/mm] wobei die [mm] t_{k} [/mm] paarweise verschiedene stützstellen sind und [mm] L_{k} [/mm] das k-te lagrangesche polynom ist.
[mm] (a=t_{0}<...
Es ist [mm] (Ax)(t_k) [/mm] = [mm] x(t_k)
[/mm]
Dann ist sehr grob
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{\infty}\le n^{n+1} \parallel [/mm] x [mm] \parallel _{\infty} [/mm] |
halli hallo!
mein problem dabei ist das [mm] L_{k}. [/mm] wie kann ich das in dieser abschätzung auf das [mm] n^{n+1} [/mm] abschätzen?
ich weiß, dass [mm] \parallel Ax(t_k) \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] \parallel x(t_k) \parallel _{\infty} [/mm] ist. (aufgrund der angabe)
logisch ist ja nun, dass [mm] \parallel Ax(t_k) \parallel_{\infty} \le n^{n+1} \parallel [/mm] x [mm] \parallel _{\infty}.
[/mm]
aber wieso kann ich das denn so machen? so einfach wirds ja nicht sein oder?
ich bin dankbar für jeden hinweis!
vielen dank!
lg spektrum
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Hi spektrum,
> A sei der Interpoaltionsoperator
> [mm]A:C[a,b]\to[/mm] P mit
> Ax:= [mm]\summe_{k=0}^{n} x(t_{k})L_{k},[/mm] wobei die [mm]t_{k}[/mm]
> paarweise verschiedene stützstellen sind und [mm]L_{k}[/mm] das
> k-te lagrangesche polynom ist.
> [mm](a=t_{0}<...
>
> Es ist [mm](Ax)(t_k)[/mm] = [mm]x(t_k)[/mm]
>
> Dann ist sehr grob
> [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_{\infty}\le n^{n+1} \parallel[/mm] x
> [mm]\parallel _{\infty}[/mm]
ich hätte ne idee, wenn die stützstellen gleichverteilt sind, ist das vorausgesetzt? Es geht ja im grunde darum, die supremumsnorm der Lagrange-polynome abzuschätzen.
es ist
[mm] $L_k(x)=\prod_{i\ne k} \frac{x-t_i}{t_k - t_i}$.
[/mm]
Eigentlich ist der rest ziemlich straight forward. Für den betrag gilt
[mm] $|L_k(x)|=\left|\prod_{i\ne k} \frac{x-t_i}{t_k - t_i}\right|=\prod_{i\ne k} \frac{|x-t_i|}{|t_k - t_i|}$
[/mm]
Im fall von gleichverteilten [mm] $t_i$ [/mm] kann der nenner nach unten durch $(b-a)/n$ abgeschätzt werden, der zähler durch $(b-a)$ nach oben, also:
[mm] $|L_k(x)|\le \prod_{i\ne k} \frac{b-a}{(b-a)/n}=n^n$
[/mm]
setzt du das in deine summe ein und schätzt noch ein wenig ab, bist du am ziel!
VG
Matthias
PS: eigentlich braucht der beweis nicht unbedingt gleichverteilte stützstellen, aber es dürfen keine zwei stützstellen einen abstand kleiner als $(b-a)/n$ haben!
> halli hallo!
>
> mein problem dabei ist das [mm]L_{k}.[/mm] wie kann ich das in
> dieser abschätzung auf das [mm]n^{n+1}[/mm] abschätzen?
>
> ich weiß, dass [mm]\parallel Ax(t_k) \parallel_{\infty}[/mm] =
> [mm]\parallel x(t_k) \parallel _{\infty}[/mm] ist. (aufgrund der
> angabe)
>
> logisch ist ja nun, dass [mm]\parallel Ax(t_k) \parallel_{\infty} \le n^{n+1} \parallel[/mm]
> x [mm]\parallel _{\infty}.[/mm]
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> aber wieso kann ich das denn so machen? so einfach wirds ja
> nicht sein oder?
>
> ich bin dankbar für jeden hinweis!
>
> vielen dank!
>
> lg spektrum
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hallo matthias!
danke für deine antwort!
hab mir in der zwischenzeit gedanken über deine idee gemacht, und bin ganz zufrieden damit.
vorausgesetzt ist die gleichverteilung der stützstellen zwar nicht, aber ich solls ja nur sehr grob abschätzen.
jetzt bin ich soweit, dass
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{\infty} \le max|\summe x(t_{k})n^{n+1}|
[/mm]
aber das max der summe von x ist ja nicht die unendlich-norm...
denn das max der summe von x ist doch eigentlich größer als das max von x, oder?
wie komme ich denn jetzt hier wieder aufs richtige, oder ist das überhaupt falsch?
ich glaube ich stehe einfach auf der leitung!
vielen dank im voraus für die hilfe!
lg spektrum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 28.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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