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| Aufgabe | Beweisen Sie: Für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt
(k + 1) [mm] \integral cos^{k+1}x [/mm] dx = [mm] cos^k [/mm] x*sin x + k [mm] \integral cos^{k-1} [/mm] x dx |
nunja das schreit schon nach partielle integration
(k + 1) [mm] \integral cos^{k}x*cos [/mm] x [mm] dx=(k+1)cos^k [/mm] x*sin [mm] x-\integral k*cos^{k-1}*-sin [/mm] x*sin x= [mm] (k+1)cos^k [/mm] x*sin [mm] x+\integral k*cos^{k-1}*sin^2 [/mm] x
so vll jetzt noch [mm] sin^2 x=1-cos^2 [/mm] x
[mm] (k+1)cos^k [/mm] x*sin [mm] x+k\integral cos^{k-1}*(1-cos^2 [/mm] x)
[mm] =(k+1)cos^k [/mm] x*sin [mm] x+k\integral cos^{k-1}-k\integral cos^{k-3}
[/mm]
also es sieht ja schon mal teilweise so aus, was auch rauskommen soll, aber leider nicht komplett
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Hallo Kinghenni,
den Ruf der Wildnis hast Du gut gehört.
Wenn Du aber gleich auf der ersten Pirsch den Faktor (k+1) nicht durchhältst, wirst Du nicht erfolgreich jagen.
Eine alternative Strategie würde übrigens ziemlich differenziert daherkommen.
Waidmannsheil,
reverend
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danke für deine antwort, aber noch mal neu
(k + 1) $ [mm] \integral cos^{k}x\cdot{}cos [/mm] $ x $ [mm] dx=(k+1)cos^k [/mm] $ x*sin $ [mm] x-(k+1)\integral k\cdot{}cos^{k-1}\cdot{}-sin [/mm] $ x*sin x=
$ [mm] cos^k [/mm] $ x*sin $ [mm] x+\integral k\cdot{}cos^{k-1}\cdot{}sin^2 [/mm] $ x
so vll jetzt noch $ [mm] sin^2 x=1-cos^2 [/mm] $ x
$ [mm] cos^k [/mm] $ x*sin $ [mm] x+k\integral cos^{k-1}\cdot{}(1-cos^2 [/mm] $ x)
$ [mm] =cos^k [/mm] $ x*sin $ [mm] x+k\integral cos^{k-1}-k\integral cos^{k-3} [/mm] $
so jetzt weiß ich garnit ob ich k+1 einfach so wegmachen musste
aber so siehts noch besser aus, stimmt aber immer noch nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Sa 13.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fehler : [mm] cos^2(x)*cos^{k-1}(x)=cos^{k+1}(x)
[/mm]
wenn du also ohne den Faktor (k+1) vor dem Integral anfaengst...
Gruss leduart
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hi, kannst du mir bitte sagen, wo du das genau meinst?
hab nur in der vorletzten zeile [mm] cos^2, [/mm] aber mit nem minus davor
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 13.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest [mm] cos^2(x)*cos^{k-1}(x) [/mm] mit [mm] cos^{k-3}(x) [/mm] berechnet. (egal welches Vorzeichen.)
Den Fehler hatte ich dir gesagt. Wenn du dann dieses richtige [mm] cos^{k+1}(x) [/mm] mit Vorfaktor und Integral auf die linke Seite tranportierst.......
Gruss leduart
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danke, hast natürlich recht, aber es ist immer noch nicht richtig
(k + 1) [mm] \integral cos^{k}x\cdot{}cos [/mm] x dx
[mm] =(k+1)cos^k [/mm] x*sin [mm] x-(k+1)\integral k\cdot{}cos^{k-1}\cdot{}-sin [/mm] x*sin x
[mm] =cos^k [/mm] x*sin [mm] x+\integral k\cdot{}cos^{k-1}\cdot{}sin^2 [/mm] x
[mm] =cos^k [/mm] x*sin [mm] x+k\integral cos^{k-1}\cdot{}(1-cos^2 [/mm] x)
[mm] =cos^k [/mm] x*sin [mm] x+k\integral cos^{k-1}-k\integral cos^{k+1} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 So 14.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das kommt vom unvollstaendigen aufschreiben.
> danke, hast natürlich recht, aber es ist immer noch nicht
> richtig
> (k + 1) [mm]\integral cos^{k}x\cdot{}cos[/mm] x dx
> [mm]=(k+1)cos^k[/mm] x*sin [mm]x-(k+1)\integral k\cdot{}cos^{k-1}(x)\cdot{}-sin[/mm]
> x*sin x
jetzt laesst du einfach den Faktor (k+1) weg! aber das kannst du nur wenn du die GLEICHUNG durch k+1 teilst.
dann steht da:
[mm]\integral cos^{k+1}x dx=cos^k(x)*sin(x)+k\integral cos^{k-1}(x)-k\integral cos^{k+1}(x)[/mm]
Ich hatte doch gesagt: berechne nur das Integral, ohne Faktor k+1, das hast du zwar gemacht, indem du durch k+1 geteilt hast, hasts aber nicht gemerkt.
> [mm]=cos^k[/mm] x*sin [mm]x+\integral k\cdot{}cos^{k-1}\cdot{}sin^2[/mm]
> x
> [mm]=cos^k[/mm] x*sin [mm]x+k\integral cos^{k-1}\cdot{}(1-cos^2[/mm] x)
> [mm]=cos^k[/mm] x*sin [mm]x+k\integral cos^{k-1}-k\integral cos^{k+1}[/mm]
>
Bitte posts sorgfaeltiger lesen.
Gruss leduart
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