integration arctan < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mi 11.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Berechnen sie das Doppelintegral
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}dy}, [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{1-x^2-y^2} , & \mbox{für } x^2+y^2 \le 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Nabend ^^
also ich hab die erste integration ausgeführt und hab
[mm] i\integral_{-1}^{1}{|y| dy} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{1}{y^2 * arctan(\bruch{i}{|y|}) dy} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{1}{ arctan(\bruch{i}{|y|}) dy}.
[/mm]
Leider haben wir in Anna 1 nur den Komplexen Arcsin und Arctan angeschnitten... Jetzt haben wir dazu garnichts mehr gesagt. Um die Integration auszuführen hab ich mal bei Wiki unter anderem geschaut und dort stand eine Identität mit dem ln. Nur bevor ich das anwende würd ich gern auch zeigen, dass das gilt. Nur wie? Da hab ich im moment ein brett vorm kopf -.-
danke schonmal im voraus!!
lg
|
|
| |
|
> Berechnen sie das Doppelintegral
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}dy},[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{1-x^2-y^2} , & \mbox{für } x^2+y^2 \le 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Nabend ^^
> also ich hab die erste integration ausgeführt und hab
> [mm]i\integral_{-1}^{1}{|y| dy}[/mm] + [mm]\integral_{-1}^{1}{y^2 * arctan(\bruch{i}{|y|}) dy}[/mm]
> - [mm]\integral_{-1}^{1}{ arctan(\bruch{i}{|y|}) dy}.[/mm]
> Leider
> haben wir in Anna 1 nur den Komplexen Arcsin und Arctan
"Anna" = "Analysis" ??
> angeschnitten... Jetzt haben wir dazu garnichts mehr
> gesagt. Um die Integration auszuführen hab ich mal bei Wiki
> unter anderem geschaut und dort stand eine Identität mit
> dem ln. Nur bevor ich das anwende würd ich gern auch
> zeigen, dass das gilt. Nur wie? Da hab ich im moment ein
> brett vorm kopf -.-
> danke schonmal im voraus!!
Gib doch bitte diese "Identität mit dem ln" genau an,
damit man weiss, wovon du sprichst...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Mi 11.06.2008 | | Autor: | eumel |
ok ^^ also die identität, die bei wiki steht, schaut so aus:
arctan(z) = [mm] \bruch{ln(1+iz)-ln(1-iz)}{2i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i}ln(\bruch{1+iz}{1-iz})
[/mm]
gr
|
|
|
| |
|
> ok ^^ also die identität, die bei wiki steht, schaut so
> aus:
>
> arctan(z) = [mm]\ \bruch{ln(1+iz)-ln(1-iz)}{2i}[/mm] = [mm]\ \bruch{1}{2i}ln(\bruch{1+iz}{1-iz})[/mm]
> gr
Diese Identität erhält man, indem man die
(leicht nachzurechnende) Identität
[mm]\ \bruch{1}{1+z^2} = \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{1+i*z}+\bruch{1}{1-i*z}\right)[/mm]
beidseitig integriert.
Links entsteht arctan(z), rechts die Logarithmen.
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> Berechnen sie das Doppelintegral
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{f(x) dx}dy},[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{1-x^2-y^2} , & \mbox{für } x^2+y^2 \le 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
Um auf diese Integrationsaufgabe einzugehen:
es handelt sich um einen typischen Fall für eine
Transformation zu Polarkoordinaten.
Da die Funktion f nur im Gebiet mit [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1
nach einer einheitlichen Formel zu berechnen ist und
ausserhalb dieses Gebietes den Wert 0 hat, ist ja das
eigentliche Integrationsgebiet gar nicht ein Quadrat,
sondern die Einheitskreisscheibe.
Führe also folgende Transformation durch:
[mm] x=r*cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\varphi)
[/mm]
dann gilt [mm]\ dx*dy = r*dr*d\varphi[/mm]
Gute Nacht !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Do 12.06.2008 | | Autor: | eumel |
falls man so transformiert, wie sehen dann die integrationsgrenzen aus?
|
|
|
| |
|
Hiho,
die Frage kannst du dir doch selbst beantworten.
Welcher bereich wird denn für [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 beschrieben?
Welcher bereich wäre das dann für r und [mm] \varphi?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 14.06.2008 | | Autor: | eumel |
ich würd schätzen, dass man für r von 0 bis 1 aufintegriert und eben wegen der sin, cos sache von 0 bis pi oder?
|
|
|
| |
|
> ich würd schätzen, dass man für r von 0 bis 1 aufintegriert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und eben wegen der sin, cos sache von 0 bis pi oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wenn du nur bis pi integrierst, hast du erst die halbe
Kreisscheibe statt die ganze !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 15.06.2008 | | Autor: | eumel |
wäre dann als endergebnis [mm] \bruch{\pi^2}{2} [/mm] richtig?
lg
|
|
|
| |
|
> wäre dann als endergebnis [mm]\bruch{\pi^2}{2}[/mm] richtig?
> lg
Ich erhalte das Ergebnis [mm] \bruch{2\ \pi}{3}:
[/mm]
inneres Integral:
[mm] \integral_0^1 \wurzel{1-r^2}*r*dr [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
äusseres Integral:
[mm] \integral_0^{2\ \pi} \bruch{1}{3}*d{\varphi} [/mm] = [mm] \bruch{2\ \pi}{3}
[/mm]
Gruß
|
|
|
|
