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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 01.12.2007 | | Autor: | chris123 |
| Aufgabe | [mm] berechne\integral_{0}^{4}{||x²-4|+3x|dx}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
[mm] berechne\integral_{0}^{4\pi}{sinx-|sin x|dx}
[/mm]
ich komme bei beiden Fragen nicht weiter. Habe keine Ahnung wie diese Aufgaben lösen kann???? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich würde die Funktionen erstmal Betragsfrei darstellen... das geht bei der 2. viel einfacher als bei der 1.
Weißt du, wie ichs meine?
Sowas wie [mm] f(x)=|x+3|=\begin{cases} -(x+3), & \mbox{für } x<-3 \mbox{ } \\ x+3, & \mbox{für } x\ge -3 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Irgendwie will das nicht angezeigt werden...
Aber halt -(x+3) für x<-3 und x+3 für x [mm] \ge [/mm] -3.
Das kannst du für beide machen, obwohls für die 1. etwas aufwendiger ist. Ob es auch anders geht, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chris,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ergänzend zu Teufel's Tipp: anschließend musst du dann das Integral jeweils in Teilintegrale zerlegen, mit den entsprechenden Nullstellen der Funktion als Integrationsgrenzen.
Das bedeutet also:
[mm] $$\integral_{0}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{2\pi}^{3\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{3\pi}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}$$
[/mm]
Nun also die Betragsdefinition anwenden ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 02.12.2007 | | Autor: | chris123 |
wie kann ich die betragsdefinition genau anwenden??
muss ich bei der ersten aufgabe das integral genauso auufteilen, wie die zweite aufgabe??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Betrachte nun mal die von mir genannten Intervalle bei:
$$ [mm] \integral_{0}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{2\pi}^{3\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{3\pi}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} [/mm] $$
Im Bereich $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] ist [mm] $\sin(x)$ [/mm] psoitiv, so dass gilt: [mm] $|\sin(x)| [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] .
Damit ergibt sich also folgendes Integral:
[mm] $$I_1 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{\pi}{\sin(x)-\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Im Bereich [mm] $\pi [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2\pi$ [/mm] ist es ganeu umgekehrt. Hier gilt: [mm] $\sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $|\sin(x)| [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)$ [/mm] :
[mm] $$I_2 [/mm] \ = \ [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)-[-\sin(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)+\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
> muss ich bei der ersten aufgabe das integral genauso
> auufteilen, wie die zweite aufgabe??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das geht ähnlich, wenn du die einzelnen Nullstellen der zu integrierenden Funktion ermittelt hast.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 02.12.2007 | | Autor: | chris123 |
bei dritten integral ist der sinus wieder positiv, beim vierten wieder negativ?? oder ??
Aber wie rechne ich weiter? ich stehe heute auf den Schlauch!!
Danke für die Hilfe!!!!!! Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 So 02.12.2007 | | Autor: | Teufel |
So ist es.
Von [mm] 2\pi [/mm] bis [mm] 3\pi [/mm] positiv, von [mm] 3\pi [/mm] bis [mm] 4\pi [/mm] negativ. Also hast du im Endeffekt die gleiche Fläche nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mo 03.12.2007 | | Autor: | chris123 |
muss ich nun die trigonometrichen formel für sin x + sin y verwenden? Oder gibt es eine andere möglichkeit um diese aufgabe zu lösen?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> muss ich nun die trigonometrichen formel für sin x + sin y
> verwenden? Oder gibt es eine andere möglichkeit um diese
> aufgabe zu lösen?
$ \integral_{0}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} \ = \ \integral_{0}^{\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{2\pi}^{3\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx}+\integral_{3\pi}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} $
Also wenn Du das mal vereinfachst, müsste rauskommen:
$ \integral_{0}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} \ = \ \integral_{0}^{\pi} 0\ dx}+\integral_{\pi}^{2\pi}2*sin(x) \ dx}+\integral_{2\pi}^{3\pi}0 \ dx}+\integral_{3\pi}^{4\pi}2*sin(x) \ dx} $
;wenn ich mich nicht irre.
LG, Martinius
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Hallo,
Das ganze kann man glaube ich einfacher lösen :
I = [mm] \integral_{0}^{4\pi}{sin(x)-|sin(x)| dx}=\integral_{0}^{4\pi}{sin(x) dx}-
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{|sin(x)| dx}
[/mm]
Da der Sinus von 0 ... 4 Pi zwei Perioden druchläuft ist [mm] \integral_{0}^{4\pi}{sin(x) dx}=0
[/mm]
Die |sin(x)| funktion "klappt" die negative Halbwelle ja nach oben.
Man kann also aus Symmetriegründen nur eine pos. Halbwelle (0..Pi) betrachten
da sich die Fläche im Intervall 0..4Pi dann vervierfacht.
-> I = [mm] -\integral_{0}^{4\pi}{|sin(x)| dx}=-4\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}
[/mm]
= -8
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mo 03.12.2007 | | Autor: | chris123 |
hallo ich bins nochmal. darf ich fragen, wie du so schnell auf -8 kommst.
ich habe das integral bis jetzt vereinfacht und erhalte das selbe wie martinius? aber wie komme ich nun auf ein richtiges ergebnis??
DANKE für eure Hilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Nach meiner Umformung musste ich nur den Integral :
I = -4\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx} bestimmen.
Die Stammfunktion von f(x)=sin(x) ist F(x)=-cos(x).
(sieht man ja durch Ableiten)
also I = -4[-cos(\pi)-(-cos(0))]=-4[-(-1)-(-1)]=-8
Man kann das auch aus der Vereinfachung von Martinius ableiten :
da \integral_{a}^{b}{0 dx} natürlich Null ergibt fallen zwei Integrale aus der Summe heraus, übrig bleibt :
$ \integral_{0}^{4\pi}{\sin(x)-|\sin(x)| \ dx} \ = \integral_{\pi}^{2\pi}2\cdot{}sin(x) \ dx}+\integral_{3\pi}^{4\pi}2\cdot{}sin(x) \ dx} = 2[-cos(2\pi)-(-cos(\pi))]+2[-cos(4\pi)-(-cos(3\pi))]=2[-2]+2[-2]=-8$
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