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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 11.10.2006 | | Autor: | dentist |
| Aufgabe | Erläutere: Jedes Integral der Art
[mm] \integral_{y}^{z}{\bruch{d + ex}{a+bx+cx^2} dx}
[/mm]
kann mit den uns verfügbaren mitteln berechnet werden! |
Die uns verfügbaren mittel sind die der Integration per substitution und eben das wissen eines leistungskurs Mathe in der 13. Klasse!
So! das ist die aufgabe und ich sitz davor...! keinen blassen schimmer!
ihr schon???
vielen dank für eure mühe!
euer dentist
ääh ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mi 11.10.2006 | | Autor: | dentist |
Also die Aufgabe wurde genau so gestellt! es ist genau dieser Text!
Der einzige Unterschied ist dass ich ein bestimmtes Integral geschrieben hab und kein wie angegebenes unbestimmtes!
Das kann/darf aber eigentlich keinen Unterschied machen!
Ich komm nicht drauf...:-(
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 12.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auch ich find die Aufgabe für 13. Klasse zu schwer.
Meine Lösung: verwandle durch quadratische Ergänzung den Nenner in :
[mm] $c*((x+A)^2+B) [/mm] $ 1/c aus dem Integral raus dann haben wir noch:
[mm] $\bruch{d+ex}{(x+A)^2+B}$ [/mm] (B ist ein Ausdruck wie [mm] a/c-b^{2}/(4c^{2}))
[/mm]
dann kommt die Substitution u=x+A und man kommt auf :
[mm] $\bruch{eu-eA+d}{u^2+B}$ [/mm] den wieder trennen in [mm] $\bruch{e}{2}*\bruch{2u}{u^2+B}+ \bruch{d-eA}{u^2+B}$
[/mm]
das erste ist ein ln, das zweite ein arctan, wenn man integriert.
(wenn ihr nicht direkt f'/f integriert =lnf rechnen dürft musst du im ersten noch die Substitution [mm] z=u^{2} [/mm] machen)
Find ich umständlich, aber es geht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Do 12.10.2006 | | Autor: | dentist |
schon schwer ja! aber es gingen der aufgabe mehrere einfache aufgaben vor, die sich dann zu schwierigeren steigerten! am schluss stand eben diese allgemeine formulierung...!
vielen vielen dank für eure hilfe
euer dentist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 12.10.2006 | | Autor: | dentist |
Ok! quardatische ergänzung schön und gut! jetzt hab ich dies aber mal selber probiert! aber ich komm werder darauf was du da jetzt ergänzt hast noch kann ich das was bei dir im nennerherauskommen soll sp umformen dass es das vorherige ergebnis ergeben soll!
ich dreh mich da irgendwie ständig im kreis...
HILFE...!!!???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 12.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] $a+bx+cx^2=c*(a/c+b/c*x+x^2)$
[/mm]
[mm] $x^2+b/c*x+a/c=x^2+2*b/(2c)*x+b^2/(4c^2)-b^2/(4c^2)+a/c=(x+b/(2c))^2+(a/c-b^2/(4c^2))$
[/mm]
damit mein $A=b/(2c) $ mein [mm] B=$(a/c-b^2/(4c^2))$
[/mm]
so sollte man auch beim weiteren Rechnen abkürzen, wenn man immer die langen Dinger hinschreibt passieren garantiert Fehler.
Noch ein Hinweis: wenn [mm] a+bx+cx^2=0 [/mm] 2 reelle Lösungen x1 und x2 hat wird die Sache einfacher, dann schreibt man [mm] $a+bx+cx^2=c*(x-x1)*(x-x2)$
[/mm]
und kann den Bruch umschreiben zu $Q/(x-x1)+P/(x-x2)$ und dann ist man schnell beim log.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Do 12.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo dentist,
halte aus, Rettung naht 
Betrachten wir einmal das unbestimmte Integral
$ [mm] \integral{\frac{N + M x}{x^2 + p x +q} dx} [/mm] $
(das ist eine leichte Modifikation, die du erhaeltst, wenn du
Zaehler und Nenner durch $ c [mm] \neq0 [/mm] $ (!) dividierst).
Setze $ [mm] A=\sqrt{q-p^2/4}$, [/mm] $x+p/2=t$, $dx=dt$, [mm] $x^2+px+q=t^2+A^2$ [/mm] und
$Mx+N=Mt+(N-Mp/2)$. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
\integral\frac{N + M x}{x^2 + p x +q} dx&=&
\integral\frac{Mt+(N-Mp/2)}{t^2+A^2}\, dt \\
& = & \frac{M}{2}\integral\frac{2t\,dt}{t^2 + A^2}\,
dt+\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\integral\frac{dt}{t^2 + A^2}\\
&=&\frac{M}{2}\ln(t^2+A^2)+\frac{1}{A}\left(N-\frac{Mp}{2}\right)\arctan\frac{t}{A}+C
\end{matrix}
[/mm]
Ersetzen wir $t$ und $A$ durch die Originalwerte, so erhaelt man
[mm] $\integral\frac{N + M x}{x^2 + p x +q} dx=\frac{M}{2}\ln(x^2 [/mm] + p x +q)
[mm] +\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$
[/mm]
Ich will mich nicht mit fremden Lorbeeren schmuecken: Das ist nicht auf meinem Mist
gewachsen. Nur, man muss halt wissen, wo so etwas stehen koennte. In
diesem Fall: Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II, Seite
40.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 19.11.2006 | | Autor: | dentist |
vielen dank dür diesen lösungsweg! ich bin jetzt aber auf folgendes problem gestoßen:
was wäre wenn [mm] q<(p^{2}/4 [/mm] ist?? dann würde die wurzel ja < 0 sein!! beispiels weise hab ich dann das intgral:
[mm] \integral_{a}^{b}{1/(x^{2}-4) dx}
[/mm]
auch ne idee dieses integral zu lösen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 20.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo dentist
> vielen dank dür diesen lösungsweg! ich bin jetzt aber auf
> folgendes problem gestoßen:
> was wäre wenn [mm]q<(p^{2}/4[/mm] ist?? dann würde die wurzel ja <
> 0 sein!! beispiels weise hab ich dann das intgral:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{1/(x^{2}-4) dx}[/mm]
was das mit [mm]q<(p^{2}/4[/mm] zu tun hat versteh ich nicht!
[mm] 1/(x^{2}-4)=1/(x-2)*1/(x+2)=A/(x-2)+ [/mm] B/x+2) und dann los.
Wenn du ne quadratisches Polynom im Nenner hat, das keine reellen Nullstellen hat, kannst dus mit Schulmitteln nicht lösen.
Nur das Integral [mm] 1/(ax^2+b) [/mm] mit b>0 kannst du auf arctan zurückführen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mo 20.11.2006 | | Autor: | dentist |
ja oben steht ja so als quasi Substitution der Term $ [mm] A=\sqrt{q-p^2/4} [/mm] $! und der term unter der wurzel darf ja eigetnlich nicht negativ werden! also wenn dann [mm] q<(p^{2}/4) [/mm] wär des doch ganz schön schlecht!
aber ich denk so wirds jetz schon gehen!
danke
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