integral flächeninhaltsformel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 30.05.2005 | | Autor: | hooover |
ein freundliches hallo an alle :)
dies ist eine aufgabe aus meiner letzten klausur ( aber nur teil a&b)
errechnen sie die flächeninhaltsformel für die fläche die die graphen mit der x -achse umschließen, in abhänigkeit von a!
f(x)= [mm] -ax^2+a+1
[/mm]
die nullstellen habe ich schon raus:
Nullstellen sind: x = $ [mm] \pm\wurzel{a+1/a}$
[/mm]
die Aufleitung habe ich auch schon
[mm] F(x)=-1/3ax^3+ax+x, [/mm] so jetzt die nullstellen einsetzen:
[mm] F(\wurzel{a+1/a}) [/mm] = [mm] -1/3a(\wurzel{a+1/a})^3 [/mm] + [mm] a(\wurzel{a+1/a}) [/mm] +
[mm] (\wurzel{a+1/a}) [/mm] = [mm] \wurzel{a+1/a} [/mm] (-1/3a [mm] \wurzel{a+1/a}^2 [/mm] + a+ 1)
[mm] F(-\wurzel{a+1/a}) [/mm] = -1/3a [mm] (-\wurzel{a+1/a})^3 [/mm] + a [mm] (-\wurzel{a+1/a}) [/mm] +
[mm] (-\wurzel{a+1/a}) [/mm] = [mm] -\wurzel{a+1/a} (-1/3a-\wurzel{a+1/a}^2 [/mm] +a +1)
dann:
[mm] \integral_{-\wurzel{a+1/a}}^{\wurzel{a+1/a}} {f(-1/3ax^3+ax+x) dx}
[/mm]
[F(1)-F(2)]
[ [mm] (\wurzel{a+1/a} [/mm] - [mm] (-\wurzel{a+1/a} [/mm] ]
so und jetzt komme ich nicht mehr weiter :(
ich wäre sehr dnakbar für eure hilfe
die kleinen zwischen schritte sind mir sehr wichtig1
hier schon mal das ergebnis:
A(a) = 4/3(a+1) * [mm] \wurzel{a+1/a} [/mm] = 4/3 (a+1) * [mm] \wurzel{1+1/a}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
auch wir freuen uns über eine nette Begrüßung.
> [ [mm](\wurzel{a+1/a}[/mm] - [mm](-\wurzel{a+1/a}[/mm] ]
>
> so und jetzt komme ich nicht mehr weiter :(
>
Da ist wohl der Ausdruck
[mm]
\left( { - \frac{a}{3}\;\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)^2 \; + \;\left( {a\; + \;1} \right)} \right)\; = \;\frac{2}{3}\;\left( {a\; + \;1} \right)[/mm]
verlorengegangen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 30.05.2005 | | Autor: | hooover |
> Hallo,
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> auch wir freuen uns über eine nette Begrüßung.
>
> > [ [mm](\wurzel{a+1/a}[/mm] - [mm](-\wurzel{a+1/a}[/mm] ]
> >
> > so und jetzt komme ich nicht mehr weiter :(
> >
>
> Da ist wohl der Ausdruck
>
> [mm]
\left( { - \frac{a}{3}\;\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)^2 \; + \;\left( {a\; + \;1} \right)} \right)\; = \;\frac{2}{3}\;\left( {a\; + \;1} \right)[/mm]
>
> verlorengegangen.
>
> Gruß
> MathePower
vielen dank für die schnelle Antwort,
aber leider verstehe ich das ergebnis nicht völlig, ich war nur so weit
[mm] \wurzel{1+1/a} [/mm] ( [mm] -\bruch{a}{3}(\wurzel{1+1/a})^2+(a+1)
[/mm]
bitte führe mich zum nächsten Schritt
vielen dank
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Hallo hoover,
> [mm]\wurzel{1+1/a}[/mm] ( [mm]-\bruch{a}{3}(\wurzel{1+1/a})^2+(a+1)[/mm]
das ist ja nur [mm]F\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)[/mm]
Die Gesamtfläche ergibt sich zu [mm]F\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)\; - \;F\left( { - \sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)[/mm]
[mm]\begin{array}{l}
F\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)\; - \;F\left( { - \sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right) \\
= \sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} \;\left( { - \frac{a}{3}\;\left( {\sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)^2 \; + \;\left( {a\; + \;1} \right)} \right)\; - \;\left( { - \sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)\;\left( { - \frac{a}{3}\;\left( { - \sqrt {\frac{{a\; + \;1}}{a}} } \right)^2 \; + \;\left( {a\; + \;1} \right)} \right) \\
\end{array}[/mm]
Jetzt noch etwas zusammenfassen und die gewünschte Formel steht da.
Gruß
MathePower
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