Forum "Integralrechnung" - \integral e^3x/(e^2x+1) - MatheRaum - Offene Informations- und Vorhilfegemeinschaft

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Forum "Integralrechnung" - \integral e^3x/(e^2x+1)

\integral e^3x/(e^2x+1) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

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\integral e^3x/(e^2x+1): Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:02 Do 17.04.2014
Autor:	Marie886

Guten Morgen :-)

!

Folgendes Integral ist gefragt:

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx [/mm]

zuerst habe ich den Nenner umgeschrieben:

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx [/mm]

dann vereinfacht: [mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+(e^x)^2)}dx [/mm]

dann substituiert:  [mm] u=e^x [/mm]
                    [mm] \bruch{du}{dx}=e^x [/mm]   --> dx= [mm] \bruch{du}{e^x} [/mm]

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+u^2)}*\bruch{du}{e^x} [/mm]          da gilt: [mm] \bruch{a^r}{a^s}= a^r^-^s [/mm] -->   [mm] \bruch{e^3^x}{e^2^x}= e^3^x^-^2^x=e^x [/mm]

[mm] \integral e^x*\bruch{1}{1+u^2}*du= e^x*arctan(u)+c= e^x*arctan(e^x)+c [/mm]

Laut einem Integralrechner sollte aber dieser Ergebnis rauskommen:

              [mm] -(tan^-^1(e^x)-e^x) [/mm]

ist mein Ansatz richtig oder muss ich eine andere Methode verwenden?

LG, Marie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

\integral e^3x/(e^2x+1): Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:31 Do 17.04.2014
Autor:	DieAcht

Guten Morgen Marie,

> Guten Morgen :-)

!
>
> Folgendes Integral ist gefragt:
>
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx[/mm]
>
> zuerst habe ich den Nenner umgeschrieben:
>
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx[/mm]
>
> dann vereinfacht: [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+(e^x)^2)}dx[/mm]

Wieso hast du das nicht auch mit dem Zähler gemacht? Es gilt:

      [mm] e^{3x}=(e^{x})^{3} [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

> dann substituiert:  [mm]u=e^x[/mm]
>                      [mm]\bruch{du}{dx}=e^x[/mm]   --> dx=

> [mm]\bruch{du}{e^x}[/mm]
>
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+u^2)}*\bruch{du}{e^x}[/mm]          da
> gilt: [mm]\bruch{a^r}{a^s}= a^r^-^s[/mm] -->   [mm]\bruch{e^3^x}{e^2^x}= e^3^x^-^2^x=e^x[/mm]

Im Nenner steht doch nur

      [mm] $e^{x}$ [/mm]

und nicht

      [mm] $e^{2x}$, [/mm]

sodass wir im Zähler

      [mm] $e^{3x-x}=e^{2x}=u^2$ [/mm]

erhalten.

> [mm]\integral e^x*\bruch{1}{1+u^2}*du= e^x*arctan(u)+c= e^x*arctan(e^x)+c[/mm]

Nein.

Du darfst erst dann integrieren, wenn kein $x$ mehr unter
dem Integral steht. Übrigens setzt man am Ende vor dem $du$
kein Multiplikationszeichen. Berechne

[mm] \integral \bruch{u^2}{1+u^2}du. [/mm]

Tipp:

[mm] \bruch{u^2}{1+u^2}=1-\frac{1}{1+u^2} [/mm] für alle [mm] u\in\IR. [/mm]

Jetzt aber. ;-)

> Laut einem Integralrechner sollte aber dieser Ergebnis
> rauskommen:
>
> [mm]-(tan^-^1(e^x)-e^x)[/mm]

Ja, wobei die Integrationskonstante fehlt und ich das Minus-
zeichen auf jeden Fall noch reinziehen würde.

      [mm] \integral\bruch{e^3^x}{e^2^x+1}dx=e^x-tan^{-1}(e^x)+C. [/mm]

> ist mein Ansatz richtig oder muss ich eine andere Methode
> verwenden?

Der Ansatz ist in Ordnung.

> LG, Marie
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
>

Gruß
DieAcht

Bezug

\integral e^3x/(e^2x+1): Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:17 Do 17.04.2014
Autor:	Marie886

Super! danke :-)

Jetzt müsste es passen.

[mm] \integral \bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx=\integral \bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx=\integral \bruch{(e^x)^3}{(1+(e^x)^2)}dx= [/mm]

Substitution: [mm] u=e^x [/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=e^x [/mm] --> [mm] dx=\bruch{du}{e^x}=>\bruch{du}{u} [/mm]

[mm] \integral\bruch{u^3}{1+u^2}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{u^2}{1+u^2}du=\integral1-\frac{1}{1+u^2}=\integral 1du-\integral\bruch{1}{1+u^2}du=u-arctan(u)+c= e^x-arctan(e^x)+c [/mm]

Bezug

\integral e^3x/(e^2x+1): Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:20 Do 17.04.2014
Autor:	fred97

> Super! danke :-)

Jetzt müsste es passen.
>
> [mm]\integral \bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx=\integral \bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx=\integral \bruch{(e^x)^3}{(1+(e^x)^2)}dx=[/mm]
>
> Substitution: [mm]u=e^x[/mm]
>                [mm]\bruch{du}{dx}=e^x[/mm] -->

> [mm]dx=\bruch{du}{e^x}=>\bruch{du}{u}[/mm]
>
> [mm]\integral\bruch{u^3}{1+u^2}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{u^2}{1+u^2}du=\integral1-\frac{1}{1+u^2}=\integral 1du-\integral\bruch{1}{1+u^2}du=u-arctan(u)+c= e^x-arctan(e^x)+c[/mm]

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