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| Aufgabe | | Sei f: R --> R stetig und seien g,h : R--> R diffbar. Zeigen Sie, dass die Funktion F: R-->R , F(x) = [mm] \integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt} [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung von F`von F. |
Hey 
Ich hab bei folgender Aufgabe ein Problem. Die Ableitung zu berechnen ist ja kein Problem, da die ja schon fast im Integral steht.Mein Problem is es die differenzierbarkeit zu beweisen. ich hab mir mal aufgeschrieben, wass F(x) genau ist und dann hab ichs auch mit dem Differenzenquotienten versucht, aber ich weiß ja nicht, dass f auch diffbar ist... das is iwie mein problem an der ganzen Sache..
Lg,
Melanie
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> Sei f: R --> R stetig und seien g,h : R--> R diffbar.
> Zeigen Sie, dass die Funktion F: R-->R , F(x) =
> [mm]\integral_{g(x)}^{h(x)}{f(t) dt}[/mm] differenzierbar ist und
> berechnen Sie die Ableitung von F'von F.
Hallo Melanie,
Da f stetig ist, ist f integrierbar, es gibt also eine
Stammfunktion S (ich nenne sie so, weil F für
einen anderen Zweck reserviert ist) mit S'(x)=f(x)
für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Dann ist F(x)=S(h(x))-S(g(x))
Da S und g und h differenzierbar sind, sagt die
![[]](/images/popup.gif) Kettenregel und die Regel über die Ableitung
einer Differenz von Funktionen, dass auch F
differenzierbar sein muss. Mittels dieser Regeln
kann man auch die Ableitung F'(x) hinschreiben.
LG
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Hey,
jep das klingt durchaus logisch;). Ich danke dir.
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