injektive/surjektive Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4}
[/mm]
Bestimmen Sie den Rang der Matrix ung geben Sie an ob die zugehörige lineare Abbildung injektiv und/oder surjektiv ist. |
Hallo Leute, den Rang habe ich folgendermaßen bestimmt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4} [/mm] Z2 [mm] \to [/mm] Z2-Z1
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4} [/mm] Z2 [mm] \to [/mm] Z3 und Z3 [mm] \to [/mm] Z2
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4} [/mm] Z4 [mm] \to [/mm] Z4-Z2
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1} [/mm] Z4 [mm] \to [/mm] Z4+Z3
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Rg(A)=4
Da m=n=Rg(A) ist die Abbildung bijektiv denke ich. Falls Rg(A)=m so wäre die Abbildung surjektiv und wenn Rg(A)=n so wäre sie injektiv. Was ist denn wenn z.B. [mm] Rg(A)\not=m [/mm] oder [mm] Rg(A)\not=n? [/mm] Wäre die Abbildung dann weder surjektiv noch injektiv?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 04.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Da m=n=Rg(A) ist die Abbildung bijektiv denke ich.
der Gedanke, wenn $Rang(A)=m=n$, so ist die Abbildung bijektiv, ist korrekt - sofern du keinen Fehler bei der Zeilentransformation gemacht hast (wovon ich jetzt mal ausgehe), trifft genau das zu in deiner konkreten Aufgabe.
> Falls Rg(A)=m so wäre die Abbildung surjektiv und wenn Rg(A)=n so
> wäre sie injektiv.
Korrekt.
> Was ist denn wenn z.B. [mm]Rg(A)\not=m[/mm] oder [mm] \red{\text{und}}
[/mm]
> [mm]Rg(A)\not=n?[/mm] Wäre die Abbildung dann weder surjektiv noch
> injektiv?
Ja, die Eigenschaften Injektivität und Surjektivität sind ein Kann , kein Muss.
Sei [mm] A\in\IR^{m\times{n}} [/mm] die Matrix einer linearen Abbildung und sei [mm] Rang(A)\not=m [/mm] und [mm] Rang(A)\not=n, [/mm] so ist die zugehörige lineare Abbildung weder surjektiv, noch injektiv.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 04.06.2009 | | Autor: | Owen |
ok, danke, jetzt weiß ich bescheid.
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