injektive, surjektive Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:
a) [mm] $f_{1}:\IR\rightarrow\IR\times\IR, x\mapsto(x-3, [/mm] x+1)$
b) [mm] $f_{2}:\IR\times\IR\rightarrow\IR\times\IR, (x_1, x_2) \mapsto(x_1+1, x_2-3)$
[/mm]
c) [mm] $f_{3}:\IR\times\IR\rightarrow\IR\times\IR, (x_1, x_2)\mapsto(x_1+x_2, x_1\cdot x_2)$ [/mm] |
a) ist injektiv, aber nicht surjektiv.
Def. Surjektivität:
Eine Abb. [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ heißt surjektiv, wenn $f(x)=Y$
Also müsste jeder Punkt im [mm] \IR^2 [/mm] erreichbar sein. Gegenbeispiel (0,0) ist nicht zu erreichen.
Def.Injektivität
Eine Abb. [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ heißt injektiv, wenn [mm] $\forall a,b\in [/mm] X$ mit [mm] $a\not= [/mm] b$ gilt [mm] $f(a)\not=f(b)$
[/mm]
Ich habe hier zumindest kein Gegenbeispiel gefunden.
b) ist auf jeden Fall surjektiv. Zu injektiv habe ich kein Gegenbeispiel gefunden.
c) ist nicht surjektiv. Ob es injektiv ist, weiß ich nicht.
Wäre froh, wenn jemand mal drüber schauen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also für die Injektivität solltest du lieber auf die folgende Defi zurückgreifen:
f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b für alle [mm] a,b\in [/mm] X.
Dann ist die Injektivität der ersten beiden Funktionen gegeben (einfach f(a)=f(b) setzen und nachrechnen). Für die dritte Funktion kann man z.B. a=(0,1) und b=(1,0) in f einsetzen. Es gilt f(a)=f(b), aber [mm] a\not=b, [/mm] also ist diese Fkt nicht injektiv.
Zur Surjektivität: Du müsstest noch beweisen, dass (0,0) nicht als Funktionswert angenommen wird, z.B. folgendermaßen:
Annahme: Es exisitert ein [mm] x\in \IR [/mm] mit [mm] f_{1}(x)=(0,0)
[/mm]
Dann gilt: 0=x-3 und 0=x+1 [mm] \Rightarrow [/mm] x-3=x+1 Widerspruch!
Also exisitiert ein solches x nicht und damit ist [mm] f_{1} [/mm] nicht surjektiv.
Du hast recht, [mm] f_{2} [/mm] ist surjektiv. Du kannst dir hier ein beliebiges [mm] y=(y_{1},y_{2}) [/mm] vorgeben und schauen, ob ein Urbild [mm] f^{-1}(y) [/mm] existiert.
Dies ist leicht zu sehen, da ja [mm] y_{1}=x_{1}+1 [/mm] und [mm] y_{2}=x_{2}-3
[/mm]
gelten muss. Durch umstellen nach [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] enthält man das [mm] x\in\IR² [/mm] mit f(x)=y bzw. anders aufgeschrieben [mm] f^{-1}(y)=x.
[/mm]
Kannst ja mal schauen, ob du jetzt die (Nicht-)Surjektivität von [mm] f_{3} [/mm] beweisen kannst oder ein Gegenbeispiel findest.
Gruß
Christian
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