injektiv, surjektiv, bijektiv < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 18.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Betrachtet sei die Funktion
f : A [mm] \to [/mm] B, f(x) = (x + [mm] 1)^{2}
[/mm]
Entscheiden Sie ob f für die spezifizierten Definitionsbereiche A und Wertebereiche B injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist.
(i) A = [-1,1], B = [0,4]
(ii) A = [-1,1], B = [mm] [0,\bruch{9}{2}]
[/mm]
(iii) A = [mm] [-\bruch{3}{2},1], [/mm] B = [0,4] |
Hallo,
ich weiß einfach nicht wie man das prüfen soll. Also ich hab ein bisschen gelesen und habe heraus gefunden, dass eine Funktion injektiv ist, wenn sie in ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend bzw. fallend ist. Das trifft ja auf diese Funktion zu. Also sind doch (i) und (ii) schomal injektiv und (iii) nicht, aber wie würde ich jetzt auf Surjektivität prüfen und was für Möglichkeiten zum prüfen gibt es noch?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachtet sei die Funktion
>
> f : A [mm]\to[/mm] B, f(x) = (x + [mm]1)^{2}[/mm]
>
> Entscheiden Sie ob f für die spezifizierten
> Definitionsbereiche A und Wertebereiche B injektiv,
> surjektiv bzw. bijektiv ist.
>
> (i) A = [-1,1], B = [0,4]
> (ii) A = [-1,1], B = [mm][0,\bruch{9}{2}][/mm]
> (iii) A = [mm][-\bruch{3}{2},1],[/mm] B = [0,4]
> Hallo,
>
> ich weiß einfach nicht wie man das prüfen soll. Also ich
> hab ein bisschen gelesen und habe heraus gefunden, dass
> eine Funktion injektiv ist, wenn sie in ihrem
> Definitionsbereich streng monoton steigend bzw. fallend
> ist. Das trifft ja auf diese Funktion zu. Also sind doch
> (i) und (ii) schomal injektiv
Ja
> und (iii) nicht,
Stimmt, aber warum ?
> aber wie
> würde ich jetzt auf Surjektivität prüfen und was für
> Möglichkeiten zum prüfen gibt es noch?
Prüfe jeweils, ob
f(A)=B
zutrifft oder nicht.
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 18.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, ich habe es jetzt so gemacht.
(i) ist injektiv, da der Graph der Funktion monoton steigend ist und ist
surjektiv, da jedes Element von B Bild eines Elements von A ist. Also
ist die Funktion hier auch bijektiv.
(ii) ist injektiv, da der Graph der Funktion monoton steigend ist. Sie ist
nicht surjektiv, da [mm] \bruch{9}{2} [/mm] kein Bild eines Elements von A ist und
kann somit auch nicht bijektiv sein.
(iii) ist nicht injektiv, da der Graph der Funktion erst fällt und
dann wieder steigt. Die Funktion ist jedoch surjektiv, da jedes Element
von B Bild eines Elements von A ist.
Würde das als Begründung so reichen?
Zu f(A) = B: Ich kann doch aber nicht jedes Element prüfen. Wie würde ich dann
vorgehen. Ich habe mir jetzt den Verlauf der Funktion angeguckt und ob die
geänderten Bereiche dazu führten ob bestimmte Elemente nicht mehr abgebildet
wurden.
Und wenn ich davon jetzt prüfen müsste, ob es Umkehrfunktionen zu den drei
Fällen gibt? Wie würde ich da vorgehen? Ich weiß wie man die bildet und ich weiß
auch, das die Funktion eine hat aber würde nicht jeder Fall eine besitzen?
Gruß
al3pou
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> Moin Moin!
>
> zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ die Umkehrfunktion von $B$ nach $A$ geht, also [mm] $f^{-1}(b)$ [/mm] für jedes [mm] $b\in [/mm] B$ definiert ist.
Ich gebe allerdings zu, daß [mm] $g\colon f(B)\to [/mm] A$ mit $g(f(a))=a$ für jedes [mm] $a\in [/mm] A$ gelegentlich als Umkehrfunktion zu $f$ bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Moin Moin!
> >
> > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
>
> Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
>
> Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig !!
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > > Moin Moin!
> > >
> > > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
> >
> > Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> > Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> > [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> > [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
> >
> > Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> > [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> > zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
>
> Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig
> !!
es kann höchstens in dem Sinne fragwürdig sein, dass man, je nach Literatur, nochmal genau die Defintion des Begriffes "Umkehrfunktion" nachschlagen sollte, die der Autor verwendet (wobei sich das dann auch aus dem Zusammenhang ergeben "sollte") 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Mi 25.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > > Moin Moin!
> > > >
> > > > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > > > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
> > >
> > > Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> > > Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> > > [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> > > [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
> > >
> > > Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> > > [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> > > zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
> >
> > Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig
> > !!
>
> es kann höchstens in dem Sinne fragwürdig sein, dass man,
> je nach Literatur, nochmal genau die Defintion des
> Begriffes "Umkehrfunktion" nachschlagen sollte, die der
> Autor verwendet (wobei sich das dann auch aus dem
> Zusammenhang ergeben "sollte")
Hallo Marcel,
Ich sehe es folgendermaßen :
Sind X und Y zwei Mengen und ist f:X [mm] \to [/mm] Y eine injektive Abbildung, so gibt es zu jedem y [mm] \in [/mm] f(X) genau ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y. Man kann dann eine Funktion von f(X) nach X durch die Zuordnungsvorschrift f(x) [mm] \to [/mm] x definieren. Diese Funktion nennt man die Umkehrfunktion von f.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > > Moin Moin!
> > > > >
> > > > > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > > > > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
> > > >
> > > > Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> > > > Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> > > > [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> > > > [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
> > > >
> > > > Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> > > > [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> > > > zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
> > >
> > > Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig
> > > !!
> >
> > es kann höchstens in dem Sinne fragwürdig sein, dass man,
> > je nach Literatur, nochmal genau die Defintion des
> > Begriffes "Umkehrfunktion" nachschlagen sollte, die der
> > Autor verwendet (wobei sich das dann auch aus dem
> > Zusammenhang ergeben "sollte")
>
> Hallo Marcel,
>
> Ich sehe es folgendermaßen :
>
> Sind X und Y zwei Mengen und ist f:X [mm]\to[/mm] Y eine injektive
> Abbildung, so gibt es zu jedem y [mm]\in[/mm] f(X) genau ein x [mm]\in[/mm] X
> mit f(x)=y. Man kann dann eine Funktion von f(X) nach X
> durch die Zuordnungsvorschrift f(x) [mm]\to[/mm] x definieren. Diese
> Funktion nennt man die Umkehrfunktion von f.
>
> Gruß FRED
das finde ich auch vernünftig. Ich habe zwar in den Anfängervorlesungen immer gelernt:
Ist $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung, so existiert genau dann eine Funktion $g: Y [mm] \to [/mm] X$ mit $g [mm] \circ f=id_X$ [/mm] und $f [mm] \circ g=id_Y\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist. In diesem Falle (was eigentlich von der Formulierung her sinnfrei ist - denn da steht eine genau-dann-wenn Aussage; man schreibt dort halt besser: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist, oder: wenn [mm] $g\,$ [/mm] mit den erwähnten Eigenschaften existiert) heißt dann die eindeutig bestimmte Funktion [mm] $g\,$ [/mm] die Umkehrfunktion zu [mm] $f\,$ [/mm] und man schreibt [mm] $f^{-1}:=g\,.$
[/mm]
Ich kenne aber auch die von Dir zitierte Funktion - ein anderer Prof. von mir hatte sie immer benutzt: Sagt Dir der Name "Luh" etwas? Der benutzte Deine Definition ständig in der Funktionentheorie!
Sie hat etwa den Vorteil, dass man z.B. bei der Funktion [mm] $f(x):=-x^2$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$) noch nichtmal wirklich den Zielbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mitangeben müßte. Hier wäre klar, dass
[mm] $$f^{-1}:(-\infty,0] \to [0,\infty) \text{ mit }f^{-1}(x):=\sqrt{-x}$$
[/mm]
die gesuchte Umkehrfunktion ist. Egal, was der Zielbereich [mm] $Y\,$ [/mm] von $f: [mm] [0,\infty) \to [/mm] Y$ wäre, sofern nur [mm] $(-\infty,0] \subseteq Y\,$ [/mm] erfüllt ist. Daher finde ich die von Dir benutzte Definition auch "etwas allgemeiner".
Denn in der von mir in der Anfängervorlesung gelernten Fassung hätte obiges [mm] $f\,$ [/mm] für etwa [mm] $Y=\IR$ [/mm] keine Umkehrfunktion, da nicht surjektiv.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Do 26.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo Fred,
> > >
> > > > > > Moin Moin!
> > > > > >
> > > > > > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > > > > > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
> > > > >
> > > > > Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> > > > > Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> > > > > [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> > > > > [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
> > > > >
> > > > > Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> > > > > [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> > > > > zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
> > > >
> > > > Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig
> > > > !!
> > >
> > > es kann höchstens in dem Sinne fragwürdig sein, dass man,
> > > je nach Literatur, nochmal genau die Defintion des
> > > Begriffes "Umkehrfunktion" nachschlagen sollte, die der
> > > Autor verwendet (wobei sich das dann auch aus dem
> > > Zusammenhang ergeben "sollte")
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > Ich sehe es folgendermaßen :
> >
> > Sind X und Y zwei Mengen und ist f:X [mm]\to[/mm] Y eine injektive
> > Abbildung, so gibt es zu jedem y [mm]\in[/mm] f(X) genau ein x [mm]\in[/mm] X
> > mit f(x)=y. Man kann dann eine Funktion von f(X) nach X
> > durch die Zuordnungsvorschrift f(x) [mm]\to[/mm] x definieren. Diese
> > Funktion nennt man die Umkehrfunktion von f.
> >
> > Gruß FRED
>
> das finde ich auch vernünftig. Ich habe zwar in den
> Anfängervorlesungen immer gelernt:
> Ist [mm]f:X \to Y[/mm] eine Abbildung, so existiert genau dann eine
> Funktion [mm]g: Y \to X[/mm] mit [mm]g \circ f=id_X[/mm] und [mm]f \circ g=id_Y\,,[/mm]
> wenn [mm]f\,[/mm] bijektiv ist. In diesem Falle (was eigentlich von
> der Formulierung her sinnfrei ist - denn da steht eine
> genau-dann-wenn Aussage; man schreibt dort halt besser:
> Wenn [mm]f\,[/mm] bijektiv ist, oder: wenn [mm]g\,[/mm] mit den erwähnten
> Eigenschaften existiert) heißt dann die eindeutig
> bestimmte Funktion [mm]g\,[/mm] die Umkehrfunktion zu [mm]f\,[/mm] und man
> schreibt [mm]f^{-1}:=g\,.[/mm]
>
> Ich kenne aber auch die von Dir zitierte Funktion - ein
> anderer Prof. von mir hatte sie immer benutzt: Sagt Dir der
> Name "Luh" etwas?
Klar, das ist der Luh von Endl/Luh (schöne Bücher haben die beiden geschrieben)
http://www.math.uni-trier.de/~luh/
> Der benutzte Deine Definition
Meine Def. ist das nicht !
> ständig in
> der Funktionentheorie!
Ein sehr vernünftiger Mensch ...
Gruß FRED
>
> Sie hat etwa den Vorteil, dass man z.B. bei der Funktion
> [mm]f(x):=-x^2[/mm] ([mm]x \ge 0[/mm]) noch nichtmal wirklich den Zielbereich
> von [mm]f\,[/mm] mitangeben müßte. Hier wäre klar, dass
> [mm]f^{-1}:(-\infty,0] \to [0,\infty) \text{ mit }f^{-1}(x):=\sqrt{-x}[/mm]
>
> die gesuchte Umkehrfunktion ist. Egal, was der Zielbereich
> [mm]Y\,[/mm] von [mm]f: [0,\infty) \to Y[/mm] wäre, sofern nur [mm](-\infty,0] \subseteq Y\,[/mm]
> erfüllt ist. Daher finde ich die von Dir benutzte
> Definition auch "etwas allgemeiner".
>
> Denn in der von mir in der Anfängervorlesung gelernten
> Fassung hätte obiges [mm]f\,[/mm] für etwa [mm]Y=\IR[/mm] keine
> Umkehrfunktion, da nicht surjektiv.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > Hallo Fred,
> > > >
> > > > > > > Moin Moin!
> > > > > > >
> > > > > > > zur Umkehrfunktion... wenn eine Funktion injektiv ist, dann
> > > > > > > gibt es auch eine (eindeutige) Umkehrfunktion.
> > > > > >
> > > > > > Dies ist nicht so. Eine injektive, aber nicht surjektive
> > > > > > Funktion hat keine Umkehrfunktion, jedenfalls, wenn zu
> > > > > > [mm]f\colon A\to B[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]B[/mm] nach [mm]A[/mm] geht, also
> > > > > > [mm]f^{-1}(b)[/mm] für jedes [mm]b\in B[/mm] definiert ist.
> > > > > >
> > > > > > Ich gebe allerdings zu, daß [mm]g\colon f(B)\to A[/mm] mit
> > > > > > [mm]g(f(a))=a[/mm] für jedes [mm]a\in A[/mm] gelegentlich als Umkehrfunktion
> > > > > > zu [mm]f[/mm] bezeichnet wird. Was fragwürdig ist.
> > > > >
> > > > > Unfug ! Nichts, aber auch gar nichts ist daran fragwürdig
> > > > > !!
> > > >
> > > > es kann höchstens in dem Sinne fragwürdig sein, dass man,
> > > > je nach Literatur, nochmal genau die Defintion des
> > > > Begriffes "Umkehrfunktion" nachschlagen sollte, die der
> > > > Autor verwendet (wobei sich das dann auch aus dem
> > > > Zusammenhang ergeben "sollte")
> > >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > Ich sehe es folgendermaßen :
> > >
> > > Sind X und Y zwei Mengen und ist f:X [mm]\to[/mm] Y eine injektive
> > > Abbildung, so gibt es zu jedem y [mm]\in[/mm] f(X) genau ein x [mm]\in[/mm] X
> > > mit f(x)=y. Man kann dann eine Funktion von f(X) nach X
> > > durch die Zuordnungsvorschrift f(x) [mm]\to[/mm] x definieren. Diese
> > > Funktion nennt man die Umkehrfunktion von f.
> > >
> > > Gruß FRED
> >
> > das finde ich auch vernünftig. Ich habe zwar in den
> > Anfängervorlesungen immer gelernt:
> > Ist [mm]f:X \to Y[/mm] eine Abbildung, so existiert genau dann
> eine
> > Funktion [mm]g: Y \to X[/mm] mit [mm]g \circ f=id_X[/mm] und [mm]f \circ g=id_Y\,,[/mm]
> > wenn [mm]f\,[/mm] bijektiv ist. In diesem Falle (was eigentlich von
> > der Formulierung her sinnfrei ist - denn da steht eine
> > genau-dann-wenn Aussage; man schreibt dort halt besser:
> > Wenn [mm]f\,[/mm] bijektiv ist, oder: wenn [mm]g\,[/mm] mit den erwähnten
> > Eigenschaften existiert) heißt dann die eindeutig
> > bestimmte Funktion [mm]g\,[/mm] die Umkehrfunktion zu [mm]f\,[/mm] und man
> > schreibt [mm]f^{-1}:=g\,.[/mm]
> >
> > Ich kenne aber auch die von Dir zitierte Funktion - ein
> > anderer Prof. von mir hatte sie immer benutzt: Sagt Dir der
> > Name "Luh" etwas?
>
>
> Klar, das ist der Luh von Endl/Luh (schöne Bücher haben
> die beiden geschrieben)
>
>
>
> http://www.math.uni-trier.de/~luh/
>
> > Der benutzte Deine Definition
>
>
> Meine Def. ist das nicht !
So wörtlich habe ich das nicht gemeint Ich meinte, er benutzte die Definition, die Du hier nochmal vorgestellt hast. 
> > ständig in
> > der Funktionentheorie!
>
>
> Ein sehr vernünftiger Mensch ...
Auch ein sehr netter Mensch.
Gruß,
Marcel
> Gruß FRED
> >
> > Sie hat etwa den Vorteil, dass man z.B. bei der Funktion
> > [mm]f(x):=-x^2[/mm] ([mm]x \ge 0[/mm]) noch nichtmal wirklich den Zielbereich
> > von [mm]f\,[/mm] mitangeben müßte. Hier wäre klar, dass
> > [mm]f^{-1}:(-\infty,0] \to [0,\infty) \text{ mit }f^{-1}(x):=\sqrt{-x}[/mm]
>
> >
> > die gesuchte Umkehrfunktion ist. Egal, was der Zielbereich
> > [mm]Y\,[/mm] von [mm]f: [0,\infty) \to Y[/mm] wäre, sofern nur [mm](-\infty,0] \subseteq Y\,[/mm]
> > erfüllt ist. Daher finde ich die von Dir benutzte
> > Definition auch "etwas allgemeiner".
> >
> > Denn in der von mir in der Anfängervorlesung gelernten
> > Fassung hätte obiges [mm]f\,[/mm] für etwa [mm]Y=\IR[/mm] keine
> > Umkehrfunktion, da nicht surjektiv.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
> (i) ist injektiv, da der Graph der Funktion monoton
> steigend ist und ist
> surjektiv, da jedes Element von B Bild eines Elements von A
> ist. Also
> ist die Funktion hier auch bijektiv.
> (ii) ist injektiv, da der Graph der Funktion monoton
> steigend ist. Sie ist
> nicht surjektiv, da [mm]\bruch{9}{2}[/mm] kein Bild eines Elements
> von A ist und
> kann somit auch nicht bijektiv sein.
> (iii) ist nicht injektiv, da der Graph der Funktion erst
> fällt und
> dann wieder steigt. Die Funktion ist jedoch surjektiv, da
> jedes Element
> von B Bild eines Elements von A ist.
>
> Würde das als Begründung so reichen?
Nein. Die Begründung zu (i) und (ii) ist richtig aber nicht ausreichend.
Zu (i): Warum gibt es zu jedem $ [mm] y\in [/mm] B$ ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $f(x)=y$?
Zu (ii): Warum gibt es kein [mm] $x\in [/mm] A$ mit [mm] $f(x)=\bruch [/mm] 9 2$?
Die Begründung zu (iii) ist falsch. Es gibt nämlich injektive Funktionen, die nicht streng monoton sind.
> Zu f(A) = B: Ich kann doch aber nicht jedes Element
> prüfen. Wie würde ich dann
> vorgehen. Ich habe mir jetzt den Verlauf der Funktion
> angeguckt und ob die
> geänderten Bereiche dazu führten ob bestimmte Elemente
> nicht mehr abgebildet
> wurden.
Nimm ein beliebiges [mm] $y\in [/mm] B$ und berechne ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $ f(x)=y$.
> Und wenn ich davon jetzt prüfen müsste, ob es
> Umkehrfunktionen zu den drei
> Fällen gibt? Wie würde ich da vorgehen? Ich weiß wie man
> die bildet und ich weiß
> auch, das die Funktion eine hat aber würde nicht jeder
> Fall eine besitzen?
Dies hängt von Eurer Definition der Umkehrfunktion ab. Wenn sie richtig definiert ist,
gibt es genau dann eine Umkehrfunktion zu $ f$, wenn $f$ bijektiv ist.
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 22.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Könnte ich denn hier einfach mit Rechts-, Linksinvertierbarkeit bzw Invertierbarkeit argumentieren?
Gruß
al3pou
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könnte ich denn hier einfach mit Rechts-,
> Linksinvertierbarkeit bzw Invertierbarkeit argumentieren?
sowas geht auch. Du musst aber ein wenig klarer schreiben, wie Du das meinst, etwa:
"Eine Funktion [mm] f\colon\, [/mm] A [mm] \to [/mm] B mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine linke Inverse hat, also eine Funktion [mm] g\colon\, [/mm] B [mm] \to [/mm] A mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] \operatorname{id}_A [/mm] (wobei [mm] \operatorname{id}_A [/mm] die identische Abbildung auf A bezeichnet)."
![[]](/images/popup.gif) Injektivität, Wikipedia
und eine analoge Aussage gibt's auch für die Surjektivität. Und es gibt eine Charakterisierung:
"Funktion f: $X [mm] \to [/mm] Y$ bijektiv genau dann, wenn es eine Funktion $g:Y [mm] \to [/mm] X$ gibt mit $g [mm] \circ f=id_X$ [/mm] und $f [mm] \circ g=id_Y\,.$ [/mm] Im Falle der Bijektivität (oder im Falle der Existenz eines solchen [mm] $g\,$'s) [/mm] ist dann $g$ die eindeutig bestimmte Inverse."
und vor allem, was Du dabei unter "einfach" verstehst. Es ist nicht wirklich einfacher als die anderen vorgeschlagenen Wege.
So beispielhaft:
$f: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ist injektiv, weil etwa $g: [mm] \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit
[mm] $$g(x)=\begin{cases} \sqrt{-x}, & \mbox{für }x < 0\\ \sqrt{x} & \mbox{für } x \ge 0
\end{cases}$$
[/mm]
erfüllt
$$g [mm] \circ f=id_{[0,\infty)}\,.$$
[/mm]
Natürlich kann ich auch ein anderes [mm] $g\,$ [/mm] wählen - ich kann obiges [mm] $g\,$ [/mm] "quasi beliebig auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] abändern (solange da was vernünftig definiertes stehenbleibt)". Auch
[mm] $$g(x)=\begin{cases} -\pi, & \mbox{für }x < 0\\ \sqrt{x} & \mbox{für } x \ge 0
\end{cases}$$
[/mm]
würde passen.
Gruß,
Marcel
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