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Hallo. Ich habe mal dringend eine Frage bezüglich injektivität und surjektivität bezüglich folgender Aufagben:
a) [mm] f:\IR\to\IR, x\to(x-2)^3
[/mm]
b) [mm] g:[-2,\infty[\to\IR,x\tox^2+4x+7
[/mm]
c) [mm] h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7
[/mm]
Um auf Injektivität zu prüfen, bilde ich zuallererst immer die 1. Ableitung dieser Funktion und gucke ob diese streng mon. steigend oder fallen ist.
Injektivität zu a): 1. Ableitung: [mm] 3(x-2)^2 [/mm] diese Funktion ist streng mon. steigend auf ganz [mm] \IR [/mm] und daher injektiv
Injektivität zu b): [mm] x^2+4x+7=(x+2)^2+3 [/mm] 1. Ableitung: 2(x+2) diese funktion ist streng mon. steigend auf dem Intervall [mm] [-2,\infty[ [/mm] und daher injektiv
Injektivität zu c) [mm] x^2+4x+7=(x+2)^2+3 [/mm] 1. Ableitung: 2(x+2) allerdings erhalte ich als 2(x+2)<0, für x<-2 (streng mon. fallend) und 2(x+2)>0, für x>-2 (streng mon. steigend) daher kann diese Funktion nicht injektiv sein.
Mein Fazit zur Injektivität, ich bilde immer die 1. Ableitung und gucke dann, ob die Funktion auf dem gegebenen Definitionsbereich streng mon. steigend oder fallend ist.
Wäre mein vorgehen soweit in Ordnung??? MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn ihr den Beweis schon hattet bezüglich Injektivität und Monotonie darfst du das anwenden.
> Hallo. Ich habe mal dringend eine Frage bezüglich
> injektivität und surjektivität bezüglich folgender
> Aufagben:
>
> a) [mm]f:\IR\to\IR, x\to(x-2)^3[/mm]
> b)
> [mm]g:[-2,\infty[\to\IR,x\tox^2+4x+7[/mm]
> c) [mm]h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7[/mm]
>
> Um auf Injektivität zu prüfen, bilde ich zuallererst immer
> die 1. Ableitung dieser Funktion und gucke ob diese streng
> mon. steigend oder fallen ist.
>
> Injektivität zu a): 1. Ableitung: [mm]3(x-2)^2[/mm] diese Funktion
> ist streng mon. steigend auf ganz [mm]\IR[/mm] und daher injektiv
Und was ist bei x=2? Da ist f'(2)=0...Da müsstest du noch weiter argumentieren.
>
> Injektivität zu b): [mm]x^2+4x+7=(x+2)^2+3[/mm] 1. Ableitung: 2(x+2)
> diese funktion ist streng mon. steigend auf dem Intervall
> [mm][-2,\infty[[/mm] und daher injektiv
Ja.
>
> Injektivität zu c) [mm]x^2+4x+7=(x+2)^2+3[/mm] 1. Ableitung: 2(x+2)
> allerdings erhalte ich als 2(x+2)<0, für x<-2 (streng mon.
> fallend) und 2(x+2)>0, für x>-2 (streng mon. steigend)
> daher kann diese Funktion nicht injektiv sein.
Ist sie aber! Überleg nochmal, warum sie das ist. Deine obere Funktion ist ja auch nicht überall mit dem selben Vorzeichen behaftet...
>
> Mein Fazit zur Injektivität, ich bilde immer die 1.
> Ableitung und gucke dann, ob die Funktion auf dem gegebenen
> Definitionsbereich streng mon. steigend oder fallend ist.
Ja, das kann man so machen. Nehmen wir ObdA an, deine Fkt. sei Streng monoton steigend. Dann ist es doch schon rein "anschaulich" unmöglich, dass man einem x zwei gleiche y-Werte zuordnet. Allerdings ist die Bedingung für Injektivität eigentlich weicher, weil wenn du versuchst, das mit der Monotonie zu beweisen, setzt du vorraus, dass deine Fkt. differenzierbar sein soll, und das muss sie ja nicht zwingend sein.
>
> Wäre mein vorgehen soweit in Ordnung??? MFG domenigge135
LÖG
Kroni
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zu c) du sagst ja, dass eine Funktion injektiv ist, sofern die Funktion keine zwei y Werte abbildet. Oder anders ausgedrückt [mm] f(x_1)\not=f(x_2).
[/mm]
Dann kann doch die Funktion [mm] h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7 [/mm] doch garnicht injektiv sein. Denn ich muss diese Funktion doch auf ganz [mm] \IR [/mm] betrachten und daher kann sie ja nicht injektiv sein, da ja z.B. f(-3)=f(-1)=4 und das wäre doch ein Widerspruch!!!
MFG domenigge135
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Hallo domenigge,
> zu c) du sagst ja, dass eine Funktion injektiv ist, sofern
> die Funktion keine zwei y Werte abbildet.
hmm, sagen wir leger: "wenn sie nicht 2 verschiedene x-Werte (Argumente) auf ein (und dasselbe) y abbildet"
> Oder anders ausgedrückt [mm]f(x_1)\not=f(x_2).[/mm]
falls [mm] $x_1\neq x_2$, [/mm] ja
>
> Dann kann doch die Funktion [mm]h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7[/mm]
> doch garnicht injektiv sein. Denn ich muss diese Funktion
> doch auf ganz [mm]\IR[/mm] betrachten und daher kann sie ja nicht
> injektiv sein, da ja z.B. f(-3)=f(-1)=4 und das wäre doch
> ein Widerspruch!!!
Da hast du recht, auf ganz [mm] \IR [/mm] ist die Funktion sicher nicht injektiv, aber du bist doch von vorneherein aufgrund der Aufgabenstellung nur an dem eingeschränkten Definitionsbereich [mm] $[3,\infty)$ [/mm] interessiert, und auf diesem Bereich ist die Funktion injektiv
Für [mm] $x\ge [/mm] 3$ ist ja die 1.Ableitung >0, die Funktion also streng monoton steigend auf dem Intervall, das dich interessiert, also auf [mm] $[3,\infty)$ [/mm] ...
>
> MFG domenigge135
LG
schachuzipus
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Okay. Alles klar...
kommen wir nun aber zur surjektivität von
[mm] f:\IR\to\IR, x\to(x-2)^3
[/mm]
[mm] g:[-2,\infty[\to\IR,x\tox^2+4x+7
[/mm]
[mm] h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7
[/mm]
da alle drei Funktionen ja nun injektiv sind, bilde ich die Umkehrabbildung zu diesen Funktionen und betrachte das Urbild.
Surjektivität zu a) Umkehraabildung zu [mm] (x-2)^3=y [/mm] ist [mm] \wurzel[3]{y}+2=x [/mm] der Definitionsbereich hiervon wäre ganz [mm] \IR [/mm] somit ist die Funktion also auch surjektiv
Surjektivität zu b) Umkehrabbildung zu [mm] x^2+4x+7=y [/mm] bzw. [mm] (x+2)^2+3=y [/mm] ist [mm] \wurzel{y-3}-2 [/mm] der Definitionsbereich hiervon wäre [mm] x\in[3,\infty[ [/mm] somit ist die Funktion nicht surjektiv
Surjektivität zu c) Umkehrabbildung zu [mm] x^2+4x+7=y [/mm] bzw. [mm] (x+2)^2+3=y [/mm] ist [mm] \wurzel{y-3}-2 [/mm] der Definitionsbereich hiervon wäre [mm] x\in[3,\infty[ [/mm] somit ist die Funktion surjektiv.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
so vereinfacht kannst du das nicht sagen. Du musst auch immer noch aufpassen, auf welche Berecihe du abbildest etc.
Nehmen wir so zB mal die Fkt. [mm] $x\rightarrow \sqrt{x}$ [/mm] an, die von [mm] $\IR\rightarrow\IR$ [/mm] gehen soll.
Jetzt berechnest du die Umkehrfunktion von deiner Funktion [mm] $y=\sqrt{x}$, [/mm] löst also nach x auf. Dann steht da
[mm] $x=y^2$. [/mm] Jetzt sagst du: Schön, das Def-Intervall ist ganz [mm] $\IR$, [/mm] also ist deine obige Funktion surjektiv.
Das ist sie aber eben nicht, oder findest du zu y=-1 ein x, dass f(x)=-1 ergibt?!
> Okay. Alles klar...
>
> kommen wir nun aber zur surjektivität von
> [mm]f:\IR\to\IR, x\to(x-2)^3[/mm]
>
> [mm]g:[-2,\infty[\to\IR,x\tox^2+4x+7[/mm]
> [mm]h:\IR\to[3,\infty[,x\tox^2+4x+7[/mm]
> da alle drei Funktionen ja nun injektiv sind, bilde ich
> die Umkehrabbildung zu diesen Funktionen und betrachte das
> Urbild.
Eine Umkehrabbildung existiert auch nur dann, wenn deine Funktion Bijektiv ist!
>
> Surjektivität zu a) Umkehraabildung zu [mm](x-2)^3=y[/mm] ist
> [mm]\wurzel[3]{y}+2=x[/mm] der Definitionsbereich hiervon wäre ganz
> [mm]\IR[/mm] somit ist die Funktion also auch surjektiv
Da würde ich anders argumentieren. Deine Fkt. ist stetig. [mm] $\lim_{x\rightarrow\\pminfty} f(x)=\pm\infty$, [/mm]
Dann folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (?), dass jeder Wert zwischen [mm] $\pm\infty$ [/mm] angenommen wird. Da deine Zielmenge [mm] $\IR$ [/mm] ist, ist die Fkt. surjektiv.
>
> Surjektivität zu b) Umkehrabbildung zu [mm]x^2+4x+7=y[/mm] bzw.
> [mm](x+2)^2+3=y[/mm] ist [mm]\wurzel{y-3}-2[/mm] der Definitionsbereich
> hiervon wäre [mm]x\in[3,\infty[[/mm] somit ist die Funktion nicht
> surjektiv
Das ist auch falsch aufgelöst. Wenn da steht [mm] $(x+2)^2=3 \gdw x+2=\pm3$. [/mm] Du musst die negative Lösung auch noch mitnehmen.
Hier willst du doch in den ganzen [mm] $\IR$ [/mm] abbilden. Da man aber schon sieht, dass das eine Parabel ist, und die nach oben geöffnet wird, gibt es mit Sicherheit keine Urbild zu -10000 (als Beispiel). Ein Gegenbeispiel reicht doch aus, um das Gegenteil der Behauptung zu beweinse.
>
> Surjektivität zu c) Umkehrabbildung zu [mm]x^2+4x+7=y[/mm] bzw.
> [mm](x+2)^2+3=y[/mm] ist [mm]\wurzel{y-3}-2[/mm] der Definitionsbereich
> hiervon wäre [mm]x\in[3,\infty[[/mm] somit ist die Funktion
> surjektiv.
Suche dir noch ein anderes Argument, und ich glaube dir.
LG
Kroni
>
> MFG domenigge135
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Also gut...
Ich habe nun eine weitere Definition gefunden, welche eventuell besser anzuwenden ist.
Eine Abbildung f ist definiert durch
Definitionsmenge D
Wertemenge W
Zuordnungsvorschrift, die jedem Element von D genau ein Element von W zuordnet
Man schreibt dafür f:D [mm] \to [/mm] W,x [mm] \to [/mm] y=f(x)
x ist das Argument (unabhängige Variable) von f, der Ausdruck f(x) der Funktionsterm der Abbildung f
yheißt das bild (der Funktionswert) von x
x das Urbild von y
injektiv: Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt.
surjektiv: Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt.
bijektiv: Sie heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch bijektiv ist.
Ich nehme hierfür jetzt einbfach mal eine relativ einfache Funktion mit f:{-2,-1,0,1,2} [mm] \to \IN,n \to n^2
[/mm]
Definitionsbereich wäre also {-2,-1,0,1,2}
Wertebereich wäre [mm] \N
[/mm]
Bild wäre f({-2,-1,0-1,2}) = {0,1,4}
Urbild (hier so meine kleinen Probleme) wäre z.B. [mm] f^{-1}({4}) [/mm] = [mm] {\pm2}
[/mm]
und um injektiv surjektiv bestimmen zu können, benötige ich ja für diese Definition das Urbild.
Wäre das so korrekt???
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 11.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> Ich habe nun eine weitere Definition gefunden, welche
> eventuell besser anzuwenden ist.
>
> Eine Abbildung f ist definiert durch
> Definitionsmenge D
> Wertemenge W
> Zuordnungsvorschrift, die jedem Element von D genau ein
> Element von W zuordnet
> Man schreibt dafür f:D [mm]\to[/mm] W,x [mm]\to[/mm] y=f(x)
> x ist das Argument (unabhängige Variable) von f, der
> Ausdruck f(x) der Funktionsterm der Abbildung f
> yheißt das bild (der Funktionswert) von x
> x das Urbild von y
Diese Definition ist die gängigste, und einfach zu handhaben.
>
> injektiv: Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes
> Element aus der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt.
> surjektiv: Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes
> Element aus der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt.
> bijektiv: Sie heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als
> auch bijektiv ist.
>
> Ich nehme hierfür jetzt einbfach mal eine relativ einfache
> Funktion mit f:{-2,-1,0,1,2} [mm]\to \IN,n \to n^2[/mm]
>
> Definitionsbereich wäre also {-2,-1,0,1,2}
> Wertebereich wäre [mm]\N[/mm]
> Bild wäre f({-2,-1,0-1,2}) = {0,1,4}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Urbild (hier so meine kleinen Probleme) wäre z.B.
> [mm]f^{-1}({4})[/mm] = [mm]{\pm2}[/mm]
> und um injektiv surjektiv bestimmen zu können, benötige
> ich ja für diese Definition das Urbild.
>
Und was sagt uns das, dass sowohl 2 als auch -2 auf 4 abgebildet werden? Ist die Funktion dann Injetiv? Ist die Surjektiv
Ausserdem hast du in deiner Funktionsvorschrift den Wertebereich auf ganz [mm] \IN [/mm] festgelegt, also überdenke nochmal deine Funktion.
Als Übung kannst du ja mal folgende Funktion(en) betrachten:
[mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2}
[/mm]
[mm] g:\IR^{\red{+}}\to\IR
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2}
[/mm]
[mm] h:\IR\to\IR^{\green{+}}
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2}
[/mm]
[mm] i:\IR^{+}\to\IR^{+}
[/mm]
[mm] x\mapsto x^{2}
[/mm]
Dann sollte es klarer sein, welche Rolle der Def-Bereich und der Wertebereich für die Injektivität/Surjektivität spielen.
Marius
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Schade deine Beispiele hatte ich alle schon auf Wiki durchgearbeitet. P.S. hatte alles richtig.
Aber kommen wir nun nochmal zu der Aufgabe die ich gegeben hatte.
injektiv ist die Funktion nicht. Denn es darf ja nicht der Fall sein, dass [mm] f(x_1)\not=f(x_2), [/mm] für [mm] x_1\not=x_2
[/mm]
surjektiv ist sie auch nicht, denn der Werte bereich ist ja [mm] \IN [/mm] allerdings ist ja [mm] f^{-1}(3)=\emptyset.
[/mm]
Nehmen wir mal noch ein anderes Beispiel, wo mir etwas noch nicht ganz klar ist.
[mm] f:\IZ \to \IZ, f(x)=x^2
[/mm]
[mm] f^{-1}( [/mm] {1,2,3,4} )={-2,-1,1,2}
irgendwie verstehe ich das nicht. liegt das vielleicht an der Schreibweise [mm] f^{-1}( [/mm] {...} )
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mo 11.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f^{-1} [/mm] ist nicht die Umkehrfunktion, sondern hier das Symbol für das Urbild, evtl ist das dein Verständnisproblem.
Wenn du schreibst [mm] f:\IZ\to\IZ, [/mm] dann ist [mm] D=\IZ [/mm] und [mm] W=\IZ, [/mm] also stimmt deine Notation am Ende nicht mehr.
Denn wenn du bei f(z)=z² [mm] D=\{-2;-1;1;2\} [/mm] einschränkst, ist der Wertebereich "nur" [mm] W=\{1;4\}
[/mm]
Also wäre [mm] f{-1}(W)=f^{-1}(\{1;4\})=\{-2;-1;1;2\}=D
[/mm]
Marius
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