injektiv,endliche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] ^n [mm] \to \IZ [/mm] ^n ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] genau dann injektiv ist, wenn [mm] \IZ [/mm] ^n /im [mm] (\phi) [/mm] eine endliche Gruppe ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe nicht wirklich eine Ahnung wie ich daran gehen soll.
Habe mir Folgendes überlegt:
[mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] ^n [mm] \to \IZ [/mm] ^n
[mm] a^n \mapsto a^n
[/mm]
Da Homomorphismus gilt: [mm] a^n \circ b^n [/mm] = (a [mm] \circ [/mm] b) ^n
Die erste Richtung:
[mm] \Rightarrow [/mm] : injektiv bedeutet: [mm] \phi [/mm] (a) = [mm] \phi [/mm] (b) [mm] \gdw [/mm] a=b
doch wie soll ich da zeigen, dass etwas endlich ist.
Außerdem ist in diesem Fall [mm] im(\phi) [/mm] nicht gleich [mm] \IZ [/mm] ^n ?
Ich wäre für kleine Lösungsansätze sehr dankbar.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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