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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - inhomogenes / homogenes LGS
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inhomogenes / homogenes LGS: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mi 30.03.2005
Autor: m0rph3us

Hi,
ich soll untersuchen für welchen Wert (t) ein LGS keine, eine bzw. unendlich viele Lösungen hat.
Mein Problem liegt darin, dass ich nicht mit rg(A) < n oder rg(A) = n  klarkomme.

ich habe folgendes LGS

[mm] \pmat{ 2 & 3 & 4 | t-1 \\ 0 & 1 & t | 2 \\ 0 & 0 & (t+3)(t+1) | -t-1} [/mm]
(soll die Matrixdarstellung sein.   | soll ein Trennstrich sein, konnte es leider nicht besser darstellen)

Ich hab herausgefunden das für t = -3 das LGS unlösbar ist, da dann Rg(A) [mm] \not=Rg(B) [/mm]

Laut Lösung soll es bei t=-1 unendlich viele Lösungen geben.
1. Rg(A) = Rg(A|b)   trifft zu, also lösbar
2. Rg(A) < n            ... hier hänge ich. Wie bestimme ich die Anzahl der Variablen? ... Ich dachte die Anzahl der Variablen ist 1 (t = eine Variable).
Dürfte hier aber nicht zutreffen da  Rg(A)=2 u. daher die Anzahl der Variablen größer als 2 sein müssten.

Ich wäre dankbar wenn mir einer sagen könnte wie ich die Anzahl der Variablen bestimmen kann. Habe hier anscheinend einen Denkfehler.

MfG


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
inhomogenes / homogenes LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Mi 30.03.2005
Autor: Julius

Hallo m0rph3us!

>  ich soll untersuchen für welchen Wert (t) ein LGS keine,
> eine bzw. unendlich viele Lösungen hat.
>  Mein Problem liegt darin, dass ich nicht mit rg(A) < n
> oder rg(A) = n  klarkomme.
>  
> ich habe folgendes LGS
>  
> [mm]\pmat{ 2 & 3 & 4 | t-1 \\ 0 & 1 & t | 2 \\ 0 & 0 & (t+3)(t+1) | -t-1}[/mm]
> (soll die Matrixdarstellung sein.   | soll ein Trennstrich
> sein, konnte es leider nicht besser darstellen)
>
> Ich hab herausgefunden das für t = -3 das LGS unlösbar ist,
> da dann Rg(A) [mm]\not=Rg(B)[/mm]

[ok]

> Laut Lösung soll es bei t=-1 unendlich viele Lösungen
> geben.

[ok]

>  1. Rg(A) = Rg(A|b)   trifft zu, also lösbar

[ok]

>  2. Rg(A) < n            ... hier hänge ich. Wie bestimme
> ich die Anzahl der Variablen? ... Ich dachte die Anzahl der
> Variablen ist 1 (t = eine Variable).

Also: Wir haben $n=3$.

Der Rang einer Matrix in Diagonalgestalt (wie hier) ist die Anzahl aller Zeilen minus die Anzahl der Nullzeilen. Wir haben hier für $t=-1$ eine Nullzeile (die Einträge der letzten Zeile verschwinden ja alle, wenn man $t=-1$ einsetzt). Daher ist

$Rg(A) = 3-1=2<3=n$.

Jetzt klar? :-)

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
inhomogenes / homogenes LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mi 30.03.2005
Autor: m0rph3us


>  
> Also: Wir haben [mm]n=3[/mm].
>  
> Der Rang einer Matrix in Diagonalgestalt (wie hier) ist die
> Anzahl aller Zeilen minus die Anzahl der Nullzeilen. Wir
> haben hier für [mm]t=-1[/mm] eine Nullzeile (die Einträge der
> letzten Zeile verschwinden ja alle, wenn man [mm]t=-1[/mm]
> einsetzt). Daher ist
>  
> [mm]Rg(A) = 3-1=2<3=n[/mm].

das mit dem Rang ist mir klar.
Aber warum ist  n=3 . Ich dachte n steht für eine Variable (in diesem Bsp. wäre das t, da es sonst keine andere Variable gibt n = 1).

Bezug
                        
Bezug
inhomogenes / homogenes LGS: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Mi 30.03.2005
Autor: MathePower

Hallo,

n ist 3 ,weil da eben 3 Zeilen vorhanden sind. Außerdem sind ja auch 3 Parameter zu bestimmen.

Gruß
MathePower




Bezug
                                
Bezug
inhomogenes / homogenes LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 Mi 30.03.2005
Autor: m0rph3us

Hi,
Danke, ich hab n immer als eine Variable z.B. x, t, y usw. angesehen.
Jetzt ist es mir logisch wie ich ein LGS auf lösbarkeit hin untersuchen kann.

Nochmals vielen Danke an alle.

MfG
Bezug
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