inhomogenen DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Sa 11.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der DGL y'(1- [mm] x^{2})+xy=2x
[/mm]
Wie sehen die Lösungen (geometrisch) aus? |
Hallo zusammen,
ich brauche ab einer bestimmten Stelle etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Mein Ansatz
Es handelt sich hierbei um eine inhomogene DGL und im Endeffekt komme ich bis zu folgendem Punkt:
y= (1- [mm] x^{2})^{ \bruch{1}{2}} [/mm] ( [mm] \delta [/mm] + [mm] \integral_{}{}{2x \wurzel{1- x^{2}} dx}
[/mm]
Dann wollte ich partiell integrieren und bleibe bei der folgendem Integral hängen: [mm] \integral_{}{}{ \wurzel{1- x^{2}} dx}
[/mm]
Hab daran rumgerechnet wie bekloppt, aber keine Idee, wie ich es integrieren soll.
Also danke schon mal für eure Hilfe. Grüße, Patrick
|
|
| |
|
Hi, oeli,
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der DGL y'(1- [mm] x^{2})+xy=2x
[/mm]
Unter Berücksichtigung der entsprechenden Definitionsmenge würde ich die Gleichung durch (1 - [mm] x^{2}) [/mm] dividieren.
Die resultierende DGL lautet dann ja
y' + [mm] \bruch{x}{1 - x^{2}}*y [/mm] = [mm] \bruch{2x}{1 - x^{2}}
[/mm]
demnach eine Differenzialgleichung 1. Ordnung, die Du auf üblichem Weg lösen kannst.
(Zum Vergleich: Ich erhalte z.B. für -1 < x < 1 die allg. Lösung:
y = [mm] c*\wurzel{1-x^{2}} [/mm] + 2.)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Sa 11.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
> Hi, oeli,
>
> > Bestimmen sie die allgemeine Lösung der DGL y'(1-
> [mm]x^{2})+xy=2x[/mm]
>
> Unter Berücksichtigung der entsprechenden Definitionsmenge
> würde ich die Gleichung durch (1 - [mm]x^{2})[/mm] dividieren.
>
> Die resultierende DGL lautet dann ja
>
> y' + [mm]\bruch{x}{1 - x^{2}}*y[/mm] = [mm]\bruch{2x}{1 - x^{2}}[/mm]
>
Hier stimmen wir auf jedenfall schon mal überein 
> demnach eine Differenzialgleichung 1. Ordnung, die Du auf
> üblichem Weg lösen kannst.
>
Mein üblicher Weg war die Lösung einer inhomogenen DGL nach dem Satz:
y= [mm] e^{-G(x)} [/mm] ( [mm] \delta [/mm] + [mm] \integral_{}{}{h(x) e^{G(x)} dx}), [/mm] wobei y( [mm] \gamma)= \delta [/mm] AWB und G(x)= [mm] \integral_{}{}{g(x) dx}
[/mm]
Aber ich komme eben im Laufe meiner Rechnung auf das Zwischenergebnis meiner 1.Frage.
> (Zum Vergleich: Ich erhalte z.B. für -1 < x < 1 die allg.
> Lösung:
> y = [mm]c*\wurzel{1-x^{2}}[/mm] + 2.)
Kannst du mir vielleicht ein paar Zwischenergebnisse mit Kommentar zum jeweiligen Schritt liefern, damit ich meine Rechnung anhand deiner korrigieren kann?
>
> mfG!
> Zwerglein
>
> Grüße zurück, Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 12.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei mir ergeben sich folgende Werte
[mm] e^{-G(x)}=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] h(x){e^{G(x)}}=\br{2x}{(1-x^2)^\br{3}{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{}{}{h(x) e^{G(x)} dx}=\br{2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
also
[mm] y(x)=e^{-G(x)}\left(\eta+\integral_{\xi}^{x}{h(t) e^{G(t)} dt}\right)=\wurzel{1-x^2}\left(\eta+\br{2}{\wurzel{1-x^2}}\right) [/mm] d.h.
[mm] y(x)=\eta{\wurzel{1-x^2}}+2
[/mm]
so wie Zwerglein gesagt hat.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 So 12.11.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Danke an alle,
habe letztendlich dann meinen Fehler gefunden. Dachte ich hätte einen Bruch vereinfacht, war aber falsch gekürzt und dementsprechend ist die Integration sauschwer oder mit meinen Kenntnissen unmöglich geworden.
Also bis zum nächsten mal.
|
|
|
| |
|
Hi, oeli,
klar, dass man eine spezielle Lösung der DGL
y' + a(x)*y = b(x)
normalerweise mit "Variation der Konstanten" ermittelt.
Es gibt aber einen Sonderfall, wo diese Methode sozusagen "mit Kanonen nach Spatzen" schießt, den Sonderfall nämlich, dass
a(x) = k*b(x) (k = konst.)
(Dieser Fall liegt bei Dir vor, denn: a(x) = 2*b(x))
In diesem Fall kann man - wie leicht nachzuweisen ist - als spezielle Lösung einfach
[mm] y_{s} [/mm] = k
wählen.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo Patrick!
Wenn dein Integral tatsächlich [mm] \integral_{}{}{ \wurzel{1- x^{2}} dx} [/mm] lautet, meine ich mich erinnern zu können,daß man an dieser Stelle mit einer Substitution der Art [mm]x=sin(z)[/mm] weiterkommt. Wenn ich nicht irre erhält man dann [mm] \bruch{dx}{dz}=cos(z) [/mm] und somit [mm]dx=cos(z)d(z)[/mm]. Somit sieht dasIntegral wie folgt aus:
[mm] \integral_{}{}{ \wurzel{1- x^{2}} dx}=\integral_{}{}{ \wurzel{1- sin(z)^{2}}cos(z) dz}
[/mm]
Wendet man nun das Additionstheorem [mm] sin(z)^{2}+cos(z)^{2}=1 [/mm] an und stellt dies nach [mm] cos(z)^{2}=1-sin(z)^{2} [/mm] um, so erhält man:
[mm] \integral_{}{}{ \wurzel{1- sin(z)^{2}}cos(z) dz}=\integral_{}{}{ \wurzel{cos(z)^{2}}cos(z) dz}
[/mm]
Nun noch vereinfacht ergibt sich:
[mm] \integral_{}{}{ \wurzel{cos(z)^{2}}cos(z) dz}=\integral_{}{}{cos(z)cos(z) dz}
[/mm]
An dieser Stelle könnte man nun mit der partiellen Integration mit [mm]u'=cos(z)[/mm] und [mm]v=cos(z)[/mm] weiter rechnen.
Wenn alles geklappt hat und du richtig gerechnet und resubstituiert hast, dann solltest du als Lösung erhalten:
[mm] \integral_{}{}{ \wurzel{1- x^{2}} dx}=\bruch{1}{2}x\wurzel{x^{2}-1}+\bruch{1}{2}arcsin(x)+c
[/mm]
Hoffe das hilft dir weiter.
Gruß,
Tommy
|
|
|
|
