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Hallo zusammen
Möchte gerne folgende Aufgabe lösen:
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'=2xy+x
In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz:
Es seine I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall, a,b: I [mm] \to \IR [/mm] stetig und [mm] x_0 \in [/mm] I.
Dann hat die inhomogene lineare DGL y'=a(x)y+b(x) mit [mm] y(x_0)=c [/mm] für bel. c [mm] \in \IR [/mm] genau eine Lösung y: I [mm] \to \IR, [/mm] gegeben durch
[mm] y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt}), [/mm] x [mm] \in [/mm] I
wobei [mm] y_h [/mm] die Lösung der zugehörigen homogenen DGL mit [mm] y_h(x_0)=1 [/mm] ist, d.h.
[mm] y_h(x)=exp(\integral_{x_0}^{x}{a(t) dt}), [/mm] x [mm] \in [/mm] I
Zur Aufgaben: Hier ist ja a(x)=2x & b(x)=x
Für die zugehörige DGL habe ich erhalten:
[mm] y_h(x)=e^{t^2}
[/mm]
Nun sollte ich dies ja in [mm] y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt}) [/mm] einsetzen.
Dies habe ich auch getan, nur ist ja das Integral jetzt
[mm] \integral_{x_0}^{x}{\bruch{t}{e^{t^2}} dt}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter...? Wie löse ich dieses Integral?
Gibt es womöglich einen anderen Weg diese DGL zu lösen?
Mit freundlichen Grüssen
Babybel
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Möchte gerne folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
> y'=2xy+x
>
> In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz:
> Es seine I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall, a,b: I [mm]\to \IR[/mm]
> stetig und [mm]x_0 \in[/mm] I.
> Dann hat die inhomogene lineare DGL y'=a(x)y+b(x) mit
> [mm]y(x_0)=c[/mm] für bel. c [mm]\in \IR[/mm] genau eine Lösung y: I [mm]\to \IR,[/mm]
> gegeben durch
> [mm]y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt}),[/mm]
> x [mm]\in[/mm] I
> wobei [mm]y_h[/mm] die Lösung der zugehörigen homogenen DGL mit
> [mm]y_h(x_0)=1[/mm] ist, d.h.
> [mm]y_h(x)=exp(\integral_{x_0}^{x}{a(t) dt}),[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>
> Zur Aufgaben: Hier ist ja a(x)=2x & b(x)=x
> Für die zugehörige DGL habe ich erhalten:
> [mm]y_h(x)=e^{t^2}[/mm]
>
> Nun sollte ich dies ja in
> [mm]y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt})[/mm]
> einsetzen.
> Dies habe ich auch getan, nur ist ja das Integral jetzt
> [mm]\integral_{x_0}^{x}{\bruch{t}{e^{t^2}} dt}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter...? Wie löse ich dieses
> Integral?
Schreibe es mal um zu
[mm] \int_{x_0}^{x}{t*e^{-t^2} dt}
[/mm]
dann solltest du die sehr elementare Substitution sehen, mit der man das Integral berechnet.
>
> Gibt es womöglich einen anderen Weg diese DGL zu lösen?
>
Einen anderen Weg: nein, ich würde es eine andere Schreibweise nennen. Im Prinzip ist das ja eine Variation der Konstanten, die du hier durchführst. Und das geht von der Schreibweise her theoretisch viel einfacher:
Man berechnet die Lösung der homogenen DGL. Diese hängt noch von einer Integrationskonstanten C ab. Diese Konstante betrachtet man nun als Funktion von t und leitet die so erhaltene Lösungsfunktion vermittelst der zuständigen Regeln ab, wobei man für die Ableitung der Funktion C(t) eben C'(t) schreibt. Mit der so erhaltenen Lösung geht man dann in die allgemeine DGL ein. Im Idealfall (also wenn das Verfahren klappt), heben sich die Vorkommen der Funktion C(t) heraus, es verbleibt eine Gleichung, die man nach C'(t) auflösen und ggf. durch Integration lösen kann, um die variierte Konstante zu berechnen.
Diese Schreibweise ist allerdings heutzutage aus unterschiedlichen Gründen teilweise nicht mehr so gerne gesehen (sie ist weniger 'mechanistisch' als die obige, und das ist für mein Gefühl heutzutage ein wenig 'out'). Du kannst es ja aber mal für den Notfall abspeichern.
Wenn ich mich nicht granatenmäßig vertan habe, hast du jedoch bis hierhin alles richtig gemacht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
EDIT: in einer zweiten Antwort hat abakus gerade darauf aufmerksam gemacht, dass man diese DGL auch per Trennung der Variablen lösen kann. Das geht einfach (ich hatte es übersehen), und damit hast du eine weitere Lösungsmöglichkeit.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 19.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Möchte gerne folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
> y'=2xy+x
>
> In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz:
Schön und gut.
Wenn du aber einfach nur die Aufgabe lösen willst (ohne Zwang zu einer bestimmten Methode),
dann wäre eine Umformulierung in
y'=x(2y+1)
bzw. [mm] \frac{dy}{2y+1}=x*dx[/mm] eine eindeutig einfachere Variante, die auf [mm] $0.5*ln(2y+1)=0.5x^2+C$ [/mm] führt.
Gruß Abakus
> Es seine I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall, a,b: I [mm]\to \IR[/mm]
> stetig und [mm]x_0 \in[/mm] I.
> Dann hat die inhomogene lineare DGL y'=a(x)y+b(x) mit
> [mm]y(x_0)=c[/mm] für bel. c [mm]\in \IR[/mm] genau eine Lösung y: I [mm]\to \IR,[/mm]
> gegeben durch
> [mm]y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt}),[/mm]
> x [mm]\in[/mm] I
> wobei [mm]y_h[/mm] die Lösung der zugehörigen homogenen DGL mit
> [mm]y_h(x_0)=1[/mm] ist, d.h.
> [mm]y_h(x)=exp(\integral_{x_0}^{x}{a(t) dt}),[/mm] x [mm]\in[/mm] I
>
> Zur Aufgaben: Hier ist ja a(x)=2x & b(x)=x
> Für die zugehörige DGL habe ich erhalten:
> [mm]y_h(x)=e^{t^2}[/mm]
>
> Nun sollte ich dies ja in
> [mm]y(x)=y_h(x)*(c+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{y_h(t)}*b(t) dt})[/mm]
> einsetzen.
> Dies habe ich auch getan, nur ist ja das Integral jetzt
> [mm]\integral_{x_0}^{x}{\bruch{t}{e^{t^2}} dt}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter...? Wie löse ich dieses
> Integral?
>
> Gibt es womöglich einen anderen Weg diese DGL zu lösen?
>
> Mit freundlichen Grüssen
> Babybel
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Hallo zusammen
Vielen Dank für eure Antworten.
Habe es nun so gelöst:
Substitution: [mm] u=t^2, [/mm] du=2t dt [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}du=t [/mm] dt
dann erhalte ich [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}e^{-u} du}=-\bruch{1}{2}e^{-u}+D
[/mm]
Rücksubstitution: [mm] \integral_{}^{}{e^{-t^2} t dt}=-\bruch{1}{2}e^{-t^2}+D
[/mm]
Also ist die Lösung meiner DGL
[mm] y(x)=e^{x^2}*(C-\bruch{1}{2}e^{-x^2}+D)=-\bruch{1}{2}+e^{x^2}*C+e^{x^2}*D=-\bruch{1}{2}+e^{x^2}*E
[/mm]
Die wesentlich kürzere wäre natürlich, die von Abakus:
y'=x(2y+1)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2y+1}dy}=\integral_{}^{}{x dx} \gdw ln(2y+1)=\bruch{1}{2}x^2+C \gdw ln(2y+1)=x^2+C \gdw 2y+1=e^{x^2+C}\gdw 2y=e^{x^2}*C-1 \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{e^{x^2}*C}{2}-\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] e^{x^2}*E-\bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe Grüsse
Babybel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Di 19.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen
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> Vielen Dank für eure Antworten.
>
> Habe es nun so gelöst:
> Substitution: [mm]u=t^2,[/mm] du=2t dt [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}du=t[/mm]
> dt
> dann erhalte ich [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}e^{-u} du}=-\bruch{1}{2}e^{-u}+D[/mm]
>
> Rücksubstitution: [mm]\integral_{}^{}{e^{-t^2} t dt}=-\bruch{1}{2}e^{-t^2}+D[/mm]
>
> Also ist die Lösung meiner DGL
> [mm]y(x)=e^{x^2}*(C-\bruch{1}{2}e^{-x^2}+D)=-\bruch{1}{2}+e^{x^2}*C+e^{x^2}*D=-\bruch{1}{2}+e^{x^2}*E[/mm]
>
> Die wesentlich kürzere wäre natürlich, die von Abakus:
> y'=x(2y+1)
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2y+1}dy}=\integral_{}^{}{x dx} \gdw ln(2y+1)=\bruch{1}{2}x^2+C \gdw ln(2y+1)=x^2+C \gdw 2y+1=e^{x^2+C}\gdw 2y=e^{x^2}*C-1 \gdw[/mm]
> y = [mm]\bruch{e^{x^2}*C}{2}-\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]e%255E%257Bx%255E2%257D*E-%255Cbruch%257B1%257D%257B2%257D[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
>
Hallo,
du hast auf zwei sehr verschiedenen Wegen das gleiche Ergebnis erhalten. Das sollte doch recht ermutigend sein?
Es verbleibt dir noch die naheliegende Möglichkeit, deine gefundene Funktion nebst ihrer Ableitung zur Probe in die gegebene DGL einzusetzen...
Gruß Abakus
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