inhomogene Lsg. bei DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y'+(1+ln(x))*y=e^x(2+ln(x))
[/mm]
an |
Hey,
so als allererstes mach ich mich an den homogenen Teil der Lösung, also betrachte ich die DGL:
y'+(1+ln(x))*y=0
[mm] \integral {\bruch{1}{y} dy}=-\integral [/mm] {1+ln(x) dx}
ln y=-x+x+x*ln(x)+c
[mm] y_h=e^{x*ln(x)+c}=A*e^{x*ln(x)}
[/mm]
Den inhomogenen Teil bekomme ich durch:
[mm] y_{inh}=u(x)*y_{h}
[/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{g(x)}{y_h}=\bruch{e^{x}*(2+ln(x)}{e^{x*ln(x)}}=2*e^{x-x*ln(x)}+\bruch{e^x*ln(x)}{e^{x*ln(x)}}
[/mm]
Wie kann ich hinteren Bruch weiter vereinfachen?
Auch die Integration von [mm] 2*e^{x-x*ln(x)} [/mm] bereitet mir Kopfschmerzen...
Danke!
lg
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Hallo BDO,
> Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>
> [mm]y'+(1+ln(x))*y=e^x(2+ln(x))[/mm]
>
> an
> Hey,
>
> so als allererstes mach ich mich an den homogenen Teil der
> Lösung, also betrachte ich die DGL:
> y'+(1+ln(x))*y=0
>
> [mm]\integral {\bruch{1}{y} dy}=-\integral[/mm] {1+ln(x) dx}
> ln y=-x+x+x*ln(x)+c
Hier stimmt was mit den Klammern nicht, richti rechterhand:
[mm]-(x+x\ln(x)-x+c)=-x\ln(x)+c_1[/mm]
> [mm]y_h=e^{x*ln(x)+c}=A*e^{x*ln(x)}[/mm]
Dann entsprechend [mm]y_h=A\cdot{}e^{-x\ln(x)}[/mm]
>
> Den inhomogenen Teil bekomme ich durch:
> [mm]y_{inh}=u(x)*y_{h}[/mm]
Hää?
Variation der Konstanten, mache [mm]A[/mm] von x abh.
[mm]y_{inh}(x)=A(x)\cdot{}e^{-x\ln(x)}[/mm]
Damit [mm]y'=A'(x)e^{-x\ln(x)}-A(x)e^{-x\ln(x)}(\ln(x)+1)[/mm]
Vergleich mit der Ausgangsdgl.
[mm]y'=-(1+\ln(x))A(x)e^{-x\ln(x)}+e^x(2+\ln(x))[/mm]
Bleibt: [mm]A'(x)e^{-x\ln(x)}=e^x(2+\ln(x))[/mm]
Daraus bestimmt [mm]A(x)[/mm] für eine spezielle Lösung der inhom. Dgl.
Dann ist die Gesamtlösung: [mm]y=y_{hom}+y_{inh}[/mm]
>
> [mm]u'(x)=\bruch{g(x)}{y_h}=\bruch{e^{x}*(2+ln(x)}{e^{x*ln(x)}}=2*e^{x-x*ln(x)}+\bruch{e^x*ln(x)}{e^{x*ln(x)}}[/mm]
>
> Wie kann ich hinteren Bruch weiter vereinfachen?
> Auch die Integration von [mm]2*e^{x-x*ln(x)}[/mm] bereitet mir
> Kopfschmerzen...
Ja, ich habe gerade mal Maple befragt, der spuckt leider keine geschlossene Darstellung aus, lediglich eine Darstellung mit einem Integral.
Das scheint also nicht mit Elementarfunktionen darstellbar zu sein ...
>
> Danke!
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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Ah, jetzt hab ich das mit der Variation der Konstanten endlich verstanden...
Mhhh... ist das nicht etwas "strange" für ne Prüfungsaufgabe, dass man die Lösung nicht geschlossen darstellen kann?
lg
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Hallo BunDemOut,
> Ah, jetzt hab ich das mit der Variation der Konstanten
> endlich verstanden...
> Mhhh... ist das nicht etwas "strange" für ne
> Prüfungsaufgabe, dass man die Lösung nicht geschlossen
> darstellen kann?
Mit den angebrachten Korrekturen meines Vorredners
ist die Lösung geschlossen darstellbar.
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mi 29.06.2011 | | Autor: | BunDemOut |
Ok, dachte schachuzipus bezieht sich auf die berichtigte Version.
Vielen Dank.
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Hoppa!
> Ok, dachte schachuzipus bezieht sich auf die berichtigte
> Version.
Das hatte ich auch, habe mich nur blöderweise vertippt, als ich die zu integrierende Funktion eingegeben habe ...
Wenn man das mal aufschreibt und hinguckt ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") , so sieht man direkt eine passende Substitution ...
Da war ich zu blind - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> Vielen Dank.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Mi 29.06.2011 | | Autor: | BunDemOut |
Macht doch nix! :D
Jop, nämlich u=x+ln(x)... :)
lg
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